Giải Toán 11 trang 84 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 84 trong Bài 3: Hàm số liên tục sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 84.

1 522 30/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 84 Tập 1

Thực hành 5 trang 84 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) y = $\sqrt{x^{2} + 1}$ + 3 - x;

b) y = $\frac{x^{2} - 1}{x}$ .cos x.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = $\sqrt{x^{2} + 1}$ + 3 - x

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Khi đó $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}} (\sqrt{x^{2} + 1} + 3 - x) = \sqrt{x_{0}^{2} + 1} + 3 - x_{0} = f (x_{0})$ .

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

b) Đặt y = g(x) = $\frac{x^{2} - 1}{x}$ .cos x.

Tập xác định của hàm số D = ℝ\{0}.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; +∞) ta thấy hàm số $y = \frac{x^{2} - 1}{x}$ và y = cos x liên tục.

Vậy hàm số đã cho liên tục trại mọi điểm x₀ ≠ 0.

Vận dụng 3 trang 84 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (– 1 < x < 1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích của tam giác ONP.

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (– 1; 1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\lim_{x \to 1^{-}} S (x)$ và $\lim_{x \to - 1^{+}} S (x)$ .

Lời giải:

a) Xét tam giác OMN vuông tại M có:

MN = $\sqrt{O N^{2} - O M^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}}$

$\Rightarrow N P = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Diện tích của tam giác ONP là:

S(x) = $\frac{1}{2}$ .NP.OM = $\frac{1}{2}$ .2. $\sqrt{1 - x^{2}}$ .x = x $\sqrt{1 - x^{2}}$

b) Trên (– 1; 1) hàm số y = $\sqrt{1 - x^{2}}$ xác định và liên tục và hàm số y = x liên tục.

Do đó hàm số S(x) liên tục trên (– 1; 1).

c) Ta có:

$lim_{x \to - 1^{+}} S (x) = lim_{x \to - 1^{+}} (\sqrt{1 - x^{2}} . x) = 0$

$lim_{x \to 1^{-}} S (x) = lim_{x \to 1^{-}} (\sqrt{1 - x^{2}} . x) = 0$ .

Bài tập

Bài 1 trang 84 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) f(x) = tại điểm x = 0;

b) f(x) = tại điểm x = 1.

Lời giải:

a) Tại x = 0, ta có:

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} + 1) = 1$ ;

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (1 - x) = 1$ .

Suy ra $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 1$ . Do đó $\lim_{x \to 0} f (x) = 1$

Mà f(0) = 0² + 1 = 1 nên $\lim_{x \to 0} f (x) = f (0) = 1$ .

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

b) Tại x = 1 ta có:

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + 2) = 3$ ;

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} x = 1$ .

Suy ra $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ . Do đó không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ .

Vậy hàm số không liên tục tại x = 1.

Bài 2 trang 84 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Ta có:

$\lim_{x \to - 2} f (x) = \lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \lim_{x \to - 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to - 2} (x - 2) = - 4$ .