Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Cấp số nhân
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Cấp số nhân sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 3.
Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân
Lời giải:
Ta có:
Vì độ cao sau bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó nên ta có:
;
;
;
.
Điểm đặc biệt của dãy số là:
Dãy số giảm dần và mỗi số hạng sau đều bằng tích của số hạng ngay trước nó với một số q không đổi là .
1. Cấp số nhân
Hoạt động khám phá 1 trang 57 Toán 11 Tập 1:
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 2; 4; 8; 16; 32; 64.
b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:
iii) 2; – 6; 18; – 54; 162; – 486.
Lời giải:
a) Ta có: 2 : 4 = ; 4 : 8 = ; 8 : 16 = ; 16 : 32 = ; 32 : 64 = .
b) Điểm giống nhau của các dãy số sau: kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi.
i) q = 2;
ii) ;
iii) q = – 3.
Lời giải:
Vì m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên n = m = p – n = d.
Ta có: 2n : 2m = 2n – m = 2d; 2p : 2n = 2p – n = 2d
Do đó 2n : 2m = 2p : 2n nên đây là một cấp số nhân với công bội q = 2d.
Lời giải:
Dân số năm 2011 là: T1 = P (triệu người).
Năm 2012 là: T2 = P + a%P = (1 + a%).P (triệu người).
Năm 2013 là: T3 = (1 + a%).P + a%(1 + a%).P = (1 + a%)2.P (triệu người).
...
Năm 2021 là: T10 = (1 + a%)10.P (triệu người).
Do đó dãy số dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân với công bội q = 1 + a%.
Lời giải:
Vì tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si tạo thành một cấp số nhân nên ta có tần số của phím La bằng: .
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Lời giải:
Ta có:
u2 = u1.q;
u3 = u2.q = u1.q.q = u1.q2;
u4 = u3.q = u1.q2.q = u1.q3;
u10 = u9.q = u8.q.q = ... = u1.q9.
Lời giải:
a) Cấp số nhân 5; 10; 20; 40; 80; ... có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = 2.
Khi đó công thức số hạng tổng quát:
un = u1.qn-1 = 5.2n-1.
b) Cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội . Khi đó công thức số hạng tổng quát:
.
b) 7 314 ngày (khoảng 20 năm).
Lời giải:
Khối lượng nguyên tố poloni 210 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 20 gam và công bội q = có số hạng tổng quát là: .
a) Ta có: 690 = 138.5 nên n = 5, khi đó: .
Vậy sau 690 ngày khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: 1,25 gam.
b) Ta có: 7 314 = 138.53 nên n = 53, khi đó: .
Vậy sau 7 314 khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: 4,4.10-15 gam.
3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
a) So sánh q.Sn và (u2 + u3 + ... + un) + q.un;
b) So sánh u1 + q.Sn và Sn + u1.qn.
Lời giải:
a) Ta có: Snq = (u1 + u2 + ... + un).q = u1q + u2q + u3q + ... + un-1q + unq
= u2 + u3 + u4 + ... + un + unq
= (u2 + u3 + ... + un) + q.un
Vậy q.Sn = (u2 + u3 + ... + un) + q.un.
b) Ta có: u1 + q.Sn = u1 + q.(u1 + u2 + ... + un) = u1 + u1q + u2q + u3q + ... + un-1q + unq
= u1 + u2 + ... + un + unq = = Sn + u1qn-1.q = Sn + u1qn.
Vậy u1 + q.Sn = Sn + u1.qn.
Lời giải:
a) (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 105 và công bội q = 0,1 nên có số hạng tổng quát là: un = u1.qn-1 = 105.(0,1)n – 1 .
Khi đó ta có: u5 = 105.(0,1)5 – 1 = 105.(0,1)4 = 10.
Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) là:
.
b) (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 10 và công bội q = nên có số hạng tổng quát là: un = u1.qn-1 = 10.(– 2)n – 1 .
Khi đó ta có: u5 = 10.(– 2)5 – 1 = 10.(– 2)4 = 160.
Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) là:
.
Lời giải:
Dãy số đã cho là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 120 và công sai .
Khi đó công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân này là: un = 120..
Độ cao của quả bóng sau lần rơi thứ 10 là u10 = 120.= .
Tổng độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là:
.
Bài tập
Bài 1 trang 60 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Lời giải:
a) Ta có:
u1 = 3.(0 – 2)1 = 3.(– 2) = – 6.
un+1 = 3.(– 2)n+1 = 3.(– 2)n.(– 2) = un.( – 2).
Vậy dãy số un = 3.(– 2)n là một cấp số nhân có số hạng đầu là u1 = – 6 và công sai d = – 2.
b) Ta có:
u1 = (– 1)1.71 = – 7;
un + 1 = (– 1)n+1.7n+1 = (– 1)n.(– 1).7n.7 = un.(– 7).
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân có số hạng đầu là u1 = – 7 và công sai d = – 7.
c) Ta có: <; un+1 = 5; un+2 = 13, ...
Dãy số này không phải cấp số nhân vì .
Bài 2 trang 60 Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:
Lời giải:
a)
Xét
Vì u5 ≠ 0 nên loại q = 0 do đó q = thỏa mãn.
u1 = = 15 u1 = .
Vậy dãy số có số hạng đầu là và công sai q = .
b)
Lấy vế với vế của (1) chia cho (3) ta được
.
⇔ q6 – 5q4 + 5q2 – 4 = 0
⇔ q6 – 4q4 – q4 + 4q2 + q2 – 4 = 0
⇔ q4(q2 – 4) – q2(q2 – 4) + q2 – 4 = 0
⇔ (q2 – 4)(q4 – q2 + 1) = 0
⇔
⇔ q = 2 hoặc q4 – q2 + 1 = 0 (vô lí)
Với q = 2 thì u1 = 5.
Với q = – 2 thì u1 = 5.
Vậy cấp số nhân (un) có số hạng đầu là u1 = 5 và công bội là q = 2 hoặc số hạng đầu là u1 = 5 và công bội là q = – 2.
Lời giải:
a) Gọi số đo bốn góc của một tứ giác được lập thành một cấp số nhân có công bội q theo thứ tự từ bé đến lớn là: α; β; γ; φ.
Ta có: β = αq, γ = α.q2, φ = α.q3.
Ta lại có: φ = 8α nên q3 = 8 ⇔ q = 2.
Do đó cấp số cộng trên trở thành: α; 2α; 4α; 8α.
Tổng bốn góc trong tứ giác bằng 360° nên α + 2α + 4α + 8α = 360°
⇔ 15α = 360°
⇔ α = 24°
Vậy số đo của các góc trong tứ giác lần lượt là 24°; 48°; 72°; 96°.
b) Cấp số nhân đã cho có u1 = – 2 và u8 = 256.
Ta có: u8 = u1q7 = (– 2).q7 = 256
⇔ q = – 2
Suy ra các số hạng xen giữa hai số – 2 và 256 là: 4; – 8; 16; – 32; 64; – 128.
Số hạng thứ 15 của dãy là: u15 = (– 2).( – 2)14 = (– 2)15 = 0 – 32 768.
Lời giải:
Ta có: là một cấp số cộng nên ta có:
(-a-b)(b-c) = (b+c)(b-a)
⇔ – ab + ac – b2 + bc = b2 – ab + bc – ac
⇔ 2b2 – 2ac = 0
⇔ b2 = ac.
Bài 5 trang 60 Toán 11 Tập 1: Tính các tổng sau:
Lời giải:
Dãy số lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = .
Khi đó tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là:
.
Lời giải:
Số lượng vi khuẩn sau mỗi phút lập thành một cấp số nhân (un), với số hạng đầu u1 = 1, công bội q = 2.
Suy ra số hạng tổng quát un = 2n-1.
Vậy sau 20 phút số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm là: u20 = 219 (vi khuẩn).
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.
Lời giải:
Số dân của thành phố qua các năm với tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75% lập thành một cấp số nhân (un) với số hạng đầu là u1 = 2,1 (ở năm 2022) và công bội q = 1 + 0,75% = 1,0075 có số hạng tổng quát là: un = 2,1.(1,0075)n-1.
a) Dự đoán dân số của thành phố vào năm 2032 là:
u11 = 2,1.(1,0075)10 ≈ 2,3 triệu người.
b) Dân số của năm thứ n (so với năm 2022) là: 2.2,1 = 4,2 (triệu người).
Ta có: un = 2,1.(1,0075)n-1 = 4,2
⇒ n – 1 ≈ 93
Vậy ước tính vào năm 2022 + 93 = 2115 thì dân số thành phố đó gấp đôi so với năm 2022.
a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.
b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.
Lời giải:
Độ cao nảy ngược lên của người chơi bungee sau mỗi lần thực hiện cú nhảy lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1 = 9 và công bội q = 0,06.
Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 9.(0,06)n-1.
a) Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần thứ 3 là:
u3 = 9.(0,06)2 = 1,994.10-3 (m).
b) Tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu là tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân và bằng: .
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 11 - Chân trời sáng tạo
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 Chân trời sáng tạo (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – Friends Global
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 11 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 11 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa lí 11 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 11 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Chân trời sáng tạo