$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} \cdot (a^{2} \sqrt{3} + \sqrt{a^{2} \sqrt{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{12} a^{3}$ .

Bài 6 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là

A. 75°46′.

B. 71°21′.

C. 68°31′.

D. 65°12′.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của đáy.

Kẻ OH ⊥ BC (H $\in$ BC)

Vì ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC.

Vì ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD.

⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC.

Mà OH ⊥ BC nên $\hat{SHO}$ là góc nhị diện [S, BC, A].

$S_{ABCD} = AB . AD = 12 a^{2} \Rightarrow S_{OBC} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = 3 a^{2}$ .

Mà $S_{OBC} = \frac{1}{2} . BC . OH \Rightarrow OH = \frac{2 S_{OBC}}{BC} = 2 a$ .

• $AC = \sqrt{{AB}^{2} + {BC}^{2}} = 5 a \Rightarrow OC = \frac{1}{2} AC = \frac{5 a}{2}$ .

• $SO = \sqrt{{SC}^{2} - {OC}^{2}} = \frac{5 a \sqrt{3}}{2}$ .

• $\tan \hat{SHO} = \frac{SO}{OH} = \frac{5 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow \hat{SHO} \approx 65 ° 12'$ .

Bài 7 trang 86 Toán 11 Tập 2: Nếu hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 3, BC = 4, AA′ = 5.

• $AC = \sqrt{{AB}^{2} + {BC}^{2}} = 5$ .

• $A^{'} C = \sqrt{A {A^{'}}^{2} + {AC}^{2}} = 5 \sqrt{2}$ .

Bài 8 trang 86 Toán 11 Tập 2: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ .

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Diện tích đáy của khối lăng trụ là: $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Chiều cao của khối lăng trụ là cạnh bên của lăng trụ bằng: h = a.

Thể tích của khối lăng trụ là: $V = S h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ .

Bài tập tự luận

Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

a) Chứng minh rằng $(SMD) ⊥ (SNC)$ .

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC).

Lời giải:

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên SM ⊥ AB. Mà (SAB) ⊥ (SAB) nên SM ⊥ (ABCD). Suy ra SM ⊥ NC.

Xét ΔAMD và ΔDNC

AM = DN

$\hat{MAD} = \hat{NDC}$

AD = DC

Do đó ΔAMD và ΔDNC (c.g.c)

Suy ra $\hat{AM D} = \hat{CN D}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{AM D} + \hat{A DM} = 90 °$ nên $\hat{CND} + \hat{A DM} = 90 °$ .

Từ đó ta có tam giác DNI vuông tại I hay DM ⊥ NC. Mà SM ⊥ NC nên NC ⊥ (SND).

Vậy (SNC) ⊥ (SMD).

b) Kẻ MH ⊥ SI (H $\in$ SI).

Vì NC ⊥ (SMD) ⇒ NC ⊥ MH ⇒ MH ⊥ (SNC)

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $SM = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác CND vuông có DI là đường cao nên $\frac{1}{{DI}^{2}} = \frac{1}{{DN}^{2}} + \frac{1}{{DC}^{2}}$ .

Suy ra $DI = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

• $DM = \sqrt{{AM}^{2} + A D^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

• $MI = M D - DI = \frac{3 a \sqrt{5}}{10}$

Và SM ⊥ (ABCD) nên SM ⊥ MI.

Tam giác SMI vuông tại M có MH là đường cao

$\frac{1}{{MH}^{2}} = \frac{1}{{SM}^{2}} + \frac{1}{{MI}^{2}} \Rightarrow MH = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}$

Giải Toán 11 trang 87 Tập 2

Bài 10 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC và SD. Tính khoảng cách giữa AM và NP.

Lời giải:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC

Mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB)

Tam giác SBC có:

M là trung điểm SB

N là trung điểm SC

Do đó MN là đường trung bình nên MN // BC, $MN = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$ .

Mà BC ⊥ (SAB) ⇒ MN ⊥ (SAB) ⇒ MN ⊥ AM.

Tam giác SCD cóN là trung điểm SC; P là trung điểm SD

Suy ra P là đường trung bình nên NP // CD.

Mà MN // BC, BC ⊥ CD nên MN ⊥ NP.

Vậy: $d (AM, NP) = MN = \frac{a}{2}$

Bài 11 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; số đo góc nhị diện [S, BC, A] bằng 60°. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Lời giải:

Kẻ IH ⊥ BC

Ta có:

$\begin{array}{l} (SIB) ⊥ (ABC D) \\ (SIC) ⊥ (ABC D) \\ (SIB) \cap (SIC) = SI \end{array}\} \Rightarrow SI ⊥ (ABCD)$

Suy ra: SI ⊥ BC mà BC ⊥ IH ⇒ BC ⊥ (SHI) $\Rightarrow$ BC ⊥ SH.

Lại có: $[S, BC, A] = \hat{SHI} = 60 °$ .

$S_{ABC D} = \frac{1}{2} (AB + CD) AD = 3 a^{2}$ ;

Ta có: I là trung điểm AD $\Rightarrow$ $AI = ID = \frac{1}{2} AD = a$ .

$S_{ABI} = \frac{1}{2} . AB . AI = a^{2}$

$S_{I D C} = \frac{1}{2} . CD . ID = \frac{a^{2}}{2}$

$S_{IBC} = S_{ABCD} - S_{AIB} - S_{CID} = \frac{3 a^{2}}{2}$

Gọi M là trung điểm của AB.

$\Rightarrow BM = \frac{1}{2} AB = a$ , CM = AD = 2a $\Rightarrow BC = \sqrt{{BM}^{2} + {CM}^{2}} = a \sqrt{5}$ ;

$\Rightarrow IH = \frac{2 S_{IBC}}{BC} = \frac{3 a \sqrt{5}}{5}$ $\Rightarrow SI = IH . \tan 60 ° = \frac{3 a \sqrt{15}}{5}$ .

Vậy $V_{S . ABC D} = \frac{1}{3} . SI . S_{ABC D} = \frac{3 a^{3} \sqrt{15}}{5}$ .

Bài 12 trang 87 Toán 11 Tập 2: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a, chiều cao h = 2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng $\frac{a}{2}$ .

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo a.

Lời giải:

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy. Vậy AB = 2a, A′B′ = a, OO′ = 2a.

a) Gọi J, K lần lượt là trung điểm của CD, C′D′.

• A′B′C′D′ là hình vuông nên O′K ⊥ C′D′.

• CDD′C′ là hình thang cân nên JK ⊥ C′D.

Vậy $\hat{JKO'}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, $\hat{KJO}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

b) Diện tích đáy lớn là: $S = A B^{2} = 4 a^{2}$ .

Diện tích đáy bé là: $S' = A^{'} B^{' 2} = a^{2}$ .

Thể tích hình chóp cụt là:

$V_{1} = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{{SS}^{'}} + S^{'}) = \frac{14 a^{3}}{3}$ .

Thể tích hình trụ rỗng là: $V_{2} = {πR}^{2} h = \frac{{πa}^{3}}{2}$ .

Thể tích chân cột là: $V = V_{1} - V_{2} = (\frac{14}{3} - \frac{π}{2}) a^{3}$ .

Bài 13 trang 87 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = a, đáy ABCD là hình thoi có AB = BD = a. Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt đáy trùng với điểm O là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối hộp.

Lời giải:

Xét tam giác ABD có AB = BD = AD = a nên ΔABD đều

Suy ra $\hat{BAD} = 60 °$

ABCD là hình thoi, O là trung điểm của BD

$\Rightarrow BO = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}, AO = \sqrt{{AB}^{2} - {BO}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Ta có: AA′ ⊥ (ABCD) $\Rightarrow$ AA′ ⊥ AO .

$\Rightarrow A^{'} O = \sqrt{{AA}^{' 2} - {AO}^{2}} = \frac{a}{2}$

$S_{ABCD} = AB . AD . \sin \hat{BAD} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

$V_{ABCD . A' B' C' D'} = A' O . S_{ABCD} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

Bài 2: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

Bài tập cuối chương 9 trang 98

Bài 1: Vẽ hình khối bằng phần mềm GeoGebra. Làm kính 3D để quan sát ảnh nổi

1 581 21/12/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3