Bài 12 trang 87 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 8 trang 86

Bài 12 trang 87 Toán 11 Tập 2: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a, chiều cao h = 2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng $\frac{a}{2}$.

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo a.

Lời giải:

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy. Vậy AB = 2a, A′B′ = a, OO′ = 2a.

a) Gọi J, K lần lượt là trung điểm của CD, C′D′.

• A′B′C′D′ là hình vuông nên O′K ⊥ C′D′.

• CDD′C′ là hình thang cân nên JK ⊥ C′D.

Vậy $\widehat{\mathrm{JKO}\text{'}}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, $\widehat{\mathrm{KJO}}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

b) Diện tích đáy lớn là: $S=A{B}^2=4a^2$.

Diện tích đáy bé là: $S\text{'}=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}2}=a^2$.

Thể tích hình chóp cụt là:

${\text{V}}_1=\frac{1}{3}h\left(S+\sqrt{{\mathrm{SS}}^{\text{'}}}+S^{\text{'}}\right)=\frac{14a^3}{3}$.

Thể tích hình trụ rỗng là: $V_2={\mathrm{\pi R}}^{2}h=\frac{{\mathrm{\pi a}}^3}{2}$.

Thể tích chân cột là: $V=V_1-V_2=\left(\frac{14}{3}-\frac{\pi }{2}\right)a^3$.