Giải Toán 11 trang 82 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 82 Tập 2 trong Bài 4: Khoảng cách trong không gian sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 82 Tập 2.

1 435 21/12/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 82 Tập 2

Bài 6 trang 82 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và $a \sqrt{3}$ .

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA′.

b) Tính thể tích của khối hộp.

Lời giải:

Bài 6 trang 82 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Vì hình hộp đứng $ABCD . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy ABCD là hình thoi tâm O.

Do đó ta có: $\{\begin{cases} {AA}^{'} ⊥ (ABCD) \\ AC ⊥ BD \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} {AA}^{'} ⊥ OA \\ OA ⊥ BD \end{cases}$

Suy ra là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và AA^'.

Do đó $d (BD, {AA}^{'}) = OA = \frac{1}{2} AC = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

b) Đáy ABCD là hình thoi tâm O có AB = a và $AC = a \sqrt{3}$

Do đó ta có: $BD = 2 OB = 2 \sqrt{{AB}^{2} - {OA}^{2}} = a$

Thể tích của khối hộp là:

$V = {AA}^{'} . S_{ABCD} = {AA}^{'} . \frac{1}{2} AC . BD = \frac{1}{2} . 2 a . a \sqrt{3} . a = a^{3} \sqrt{3} .$

Vậy thể tích của khối hộp là $a^{3} \sqrt{3} .$

Bài 7 trang 82 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

b) Tính thể tích của khối chóp.

Lời giải:

Bài 7 trang 82 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Kẻ OH ⊥ SB (H $\in$ SB)

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều $\Rightarrow$ SO ⊥ (ABCD) $\Rightarrow$ SO ⊥AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông suy ra AC ⊥ BD $\Rightarrow$ AC ⊥(SBD) $\Rightarrow$ AC ⊥ OH.

Mà $OH ⊥ SB$

Do đó d(AC, SB) = OH

• Xét ΔABD vuông tại A, ta có:

$BD = \sqrt{{AB}^{2} + {AD}^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow BO = \frac{1}{2} BD = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSBO vuông tại O, ta có:

$SO = \sqrt{{SB}^{2} - {BO}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSBO vuông tại O có SO = BO nên ΔSBO vuông cân tại O

Suy ra OH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

Do đó $OH = \frac{1}{2} SB = \frac{a}{2}$

Vậy $d (AC, SB) = \frac{a}{2}$

b) $S_{ABCD} = a^{2}$ .

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3} . SO . S_{ABC D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

Bài 8 trang 82 Toán 11 Tập 2: Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ với O và O′ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và $\frac{a}{2}, {OO}^{'} = a$ .

Lời giải:

Bài 8 trang 82 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Ta có mỗi hình lục giác đều được tạo bởi 6 tam giác đều có cạnh bằng cạnh của hình lục giác.

Do đó ta có diện tích các đáy là:

$S = 6. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3} a^{2}}{2}, S^{'} = 6. {(\frac{a}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3} a^{2}}{8} .$

Chiều cao của khối chóp cụt là: h = OO′ = a

Thể tích khối chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S . S^{'}} + S) = \frac{1}{3} . a (\frac{3 \sqrt{3} a^{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} a^{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3} a^{2}}{8}) = \frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{8} .$