Giải Toán 11 trang 74 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 74 Tập 2 trong Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 74 Tập 2.

1 194 21/12/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 74 Tập 2

Bài 4 trang 74 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.

Lời giải:

Bài 4 trang 74 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Xét tam giác ABD có: AB = AD = BD = a nên ΔABD đều

$⇒ \hat{BAD} = 60 °$

$\Rightarrow \hat{ABC} = 180 ° - \hat{BAD} = 120 °$

Xét tam giác ABC có: $AC = \sqrt{{AB}^{2} + {BC}^{2} - 2 . AB . BC . \cos \hat{BAC}} = a \sqrt{3}$

AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ AC ⇒ ΔAA′C vuông tại A.

$\Rightarrow {AA}^{'} = \sqrt{A^{'} {C^{'}}^{2} - {AC}^{2}} = a$

Vậy độ dài đoạn thẳng AA′ là: ${AA}^{'} = a$

b) Ta có:

• $S_{ABCD} = S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = AB . AC . \sin \hat{BAC} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ ;

• $S_{{ABB}^{'} A^{'}} = S_{{CDD}^{'} C^{'}} = AB . AA' = a^{2}$ ;

• $S_{{ADD}^{'} A^{'}} = S_{{BCC}^{'} B^{'}} = AD . {AA}^{'} = a^{2}$ .

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là:

$S = S_{ABCD} + S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} + S_{{ABB}^{'} A^{'}} + S_{{ADD}^{'} A^{'}} + S_{{BCC}^{'} B^{'}} + S_{{CDD}^{'} C^{'}} = (4 + \sqrt{3}) a^{2}$ .

Vậy tổng diện tích các mặt của hình hộp là $(4 + \sqrt{3}) a^{2}$ .

Bài 5 trang 74 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng a. Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.

Lời giải:

Bài 5 trang 74 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Gọi OO' là đường nối tâm của hai đáy.

Kẻ B′H ⊥ BD (H BD), B′K ⊥ BC (K ∈ BC).

Ta có:

• $BD = \sqrt{{AB}^{2} + {AD}^{2}} = 2 a \sqrt{2} \Rightarrow BO = \frac{1}{2} BD = a \sqrt{2}$

• $B' D' = \sqrt{A' B'^{2} + A' D'^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow B' O' = \frac{1}{2} B' D' = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vì OO′B′H là hình chữ nhật nên $OH = B^{'} = \frac{a \sqrt{2}}{2}; B^{'} H = {OO}^{'} = a$ .

Do đó $BH = BO = OH = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

• ΔBB′H vuông tại H nên ${BB}^{'} = \sqrt{B^{'} H^{2} + {BH}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ (theo định lí Pythagore).

• BCC′B′ là hình thang cân nên $BK = \frac{BC - B^{'} C^{'}}{2} = \frac{a}{2}$ .

• ΔBB′K vuông tại K nên ${KB}^{'} = \sqrt{B^{'} B^{2} + {BK}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ (theo định lí Pythagore).

Bài 6 trang 74 Toán 11 Tập 2: Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21,6 m và cạnh đáy dài 34 m. Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp.

Lời giải:

Bài 6 trang 74 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Mô hình hoá hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy.

Kẻ SH ⊥ CD (H $\in$ CD)

Ta có: SO = 21,6 m , AD = 34 m

$AC = \sqrt{{AB}^{2} + {BC}^{2}} = 34 \sqrt{2} (m) \Rightarrow OC = \frac{1}{2} AC = 17 \sqrt{2} (m)$

ΔSOC vuông tại O $\Rightarrow SC = \sqrt{{SO}^{2} + {OC}^{2}} \approx 32, 3 (m)$

Do đó độ dài cạnh bên bằng 32,3 m.

Tam giác SCD cân tại S

⇒ SH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác SCD

⇒ H là trung điểm của CD.

Mà O là trung điểm của AD.

⇒ OH là đường trung bình của tam giác ACD

⇒ $OH = \frac{1}{2} AD = 17 (m)$

Ta có: SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ OH

⇒ ΔSOH vuông tại O.

⇒ $SH = \sqrt{{SO}^{2} + {OH}^{2}} \approx 27, 5 (m)$

$S_{SCD} = \frac{1}{2} . CD . SH \approx 467, 5 (m^{2})$

Diện tích xung quanh của kim tự tháp là:
$S_{xq} = 4 . S_{SCD} = 4.467, 5 \approx 1870 (m^{2})$ .

Vậy độ dài cạnh bênlà 32,3 m và diện tích xung quanh của kim tự tháp là 1870 m².

Hoạt động khởi động trang 74 Toán 11 Tập 2: Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó?

Lời giải:

Trong công trình này có: Khoảng cách giữa 2 điểm (d₁), khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d₂), khoảng cách từ một điểm đếm một đường thẳng (d₃), (d₄) khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (d₅).

Để đo những đường nằm ngang, ta có thể dùng thước dây, còn những đường nằm thẳng đứng thì dùng dây dọi.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Hoạt động khám phá 1 trang 74 Toán 11 Tập 2:

a) Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M;a) dùng êke để tìm H trên a sao cho MH ⊥ a (Hình 1a) . Đo độ dài đoạn MH.

b) Cho điểm M không nằm trên mặt phẳng sàn nhà (P). Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (P) (Hình 1a). Đo độ dài đoạn MH.