Thực hành 2 trang 69 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Thực hành 2 trang 69 Toán 11 Tập 2: Tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng:

a) (ADC) ⊥ (ABE) và (ADC) ⊥ (DFK).

b) OH ⊥ (ADC).

Lời giải:

a) Ta có:

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{AB}\perp \left(\mathrm{BCD}\right)\Rightarrow \mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}\\ \mathrm{BE}\perp \mathrm{CE}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{CD}\perp \left(\mathrm{ABE}\right)$

Mà $\mathrm{CD}\subset \left(\mathrm{ADC}\right)$

Vậy (ADC) ⊥ (ABE)

Lại có:

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{AB}\perp \left(\mathrm{BCD}\right)\Rightarrow \mathrm{AB}\perp \mathrm{DF}\\ \mathrm{BC}\perp \mathrm{DF}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{DF}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{DF}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)\Rightarrow \mathrm{DF}\perp \mathrm{AC}\\ \mathrm{DK}\perp \mathrm{AC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{AC}\perp \left(\mathrm{DFK}\right)$

Mà $\mathrm{AC}\subset \left(\mathrm{ADC}\right)$

Vậy (ADC) ⊥ (DFK).

b)

Ta có:

$\left.\begin{array}{l}\left(\mathrm{ADC}\right)\perp \left(\mathrm{ABE}\right)\\ \left(\mathrm{ADC}\right)\perp \left(\mathrm{DFK}\right)\\ \left(\mathrm{ABE}\right)\cap \left(\mathrm{DFK}\right)=\mathrm{OH}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{OH}\perp \left(\mathrm{ADC}\right)$