Bài 4 trang 74 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4 trang 74 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABD có: AB = AD = BD = a nên ΔABD đều

$\text{⇒}\widehat{\mathrm{BAD}}=60°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\widehat{\mathrm{BAD}}=120°$

Xét tam giác ABC có: $\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2.\mathrm{AB}.\mathrm{BC}.\cos \widehat{\mathrm{BAC}}}=a\sqrt{3}$

AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ AC ⇒ ΔAA′C vuông tại A.

$\Rightarrow {\mathrm{AA}}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2-{\mathrm{AC}}^2}=a$

Vậy độ dài đoạn thẳng AA′ là: ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}=a$

b) Ta có:

• $S_{\mathrm{ABCD}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AC}.\sin \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ ;

• $S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AA}\text{'}=a^2$ ;

• $S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\mathrm{AD}.{\mathrm{AA}}^{\text{'}}=a^2$.

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là:

$S=S_{\mathrm{ABCD}}+S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left(4+\sqrt{3}\right)a^2$.

Vậy tổng diện tích các mặt của hình hộp là $\left(4+\sqrt{3}\right)a^2$.