Bài 3 trang 73 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 3 trang 73 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA′ = 2a, AD = 2a, AB = BC = a.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC′.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Lời giải:

a) Ta có: $\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow A^{\text{'}}C=\sqrt{{\mathrm{AC}}^2+C{C^{\text{'}}}^2}=a\sqrt{6}$

Vậy độ dài đoạn thẳng AC′ là $a\sqrt{6}$ .

b) $S_{\mathrm{ABCD}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AD}+\mathrm{BC}\right)A.B=\frac{3a^2}{2}$

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó ABCI là hình vuông nên IC = IB = IA = $\frac{1}{2}$AD = a

Xét tam giác ICD vuông cân tại I:

$\mathrm{CD}=\sqrt{{\mathrm{CI}}^2+{\mathrm{DI}}^2}=a\sqrt{2}$

$S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AA}\text{'}=2a^2$

$S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\mathrm{AD}.{\mathrm{AA}}^{\text{'}}=4a^2$

$S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\mathrm{BC}.{\mathrm{CC}}^{\text{'}}=2a^2$

$S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\mathrm{CD}.{\mathrm{CC}}^{\text{'}}=2a^2\sqrt{2}$

Tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là:

$S=S_{\mathrm{ABCD}}+S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left(11+3\sqrt{2}\right)a^2$

Vậy tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là: $S=\left(11+3\sqrt{2}\right)a^2$