Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Dãy số

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Dãy số

Giải Toán 11 trang 45 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 45 Toán 11 Tập 1:

Gọi u₁; u₂; u₃; ...; u_n lần lượt là diện tích các tình huống có độ dài cạnh là 1; 2; 3; ...; n. Tính u₃ và u₄.

Lời giải:

u₃ và u₄ lần lượt là diện tích của các hình vuông có cạnh bằng 3 và 4. Do đó ta có:

u₃ = 3² = 9; u₄ = 4² = 16.

1. Dãy số là gì?

Hoạt động khám phá 1 trang 45 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ u(n) = n².

Tính u(1), u(2), u(50), u(100).

Lời giải:

Ta có:

u(1) = 1² = 1;

u(2) = 2² = 4;

u(50) = 50² = 2 500;

u(100) = 100² = 10 000.

Giải Toán 11 trang 46 Tập 1

Hoạt động khám phá 2 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:

v: {1;2;3;4;5} $\to$R

n $\mapsto$v(n) = 2n.

Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).

Lời giải:

Ta có:

v(1) = 2.1 = 2;

v(2) = 2.2 = 4;

v(3) = 2.3 = 6;

v(4) = 2.4 = 8;

v(5) = 2.5 = 10.

Thực hành 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ u_n = n³.

a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Lời giải:

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn.

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

u(1) = 1³ = 1;

u(2) = 2³ = 8;

u(3) = 3³ = 27;

u(4) = 4³ = 64;

u(5) = 5³ = 125.

Vận dụng 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.

Lời giải:

a) Dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này là:

v: {1;2;3;4;5} $\to$R

n $\mapsto$ v(n) = $\pi$n².

b) Số hạng đầu của dãy số là: v(1) = π.1² = π.

Số hạng cuối của dãy số là: v(5) = π.5² = 25π.

2. Cách xác định dãy số

Hoạt động khám phá 3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) được xác định như sau:

+) a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3; a₅ = 4.

+) b_n = 2n.

+)

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n.

Tính bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Lời giải:

+) Bốn số hạng đầu của dãy (a_n­) là: a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (b_n­) là:

b₁ = 2.1 = 2;

b₂ = 2.2 = 4;

b₃ = 2.3 = 6;

b₄ = 2.4 = 8.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (C_n­) là:

c₁ = 1;

c₂ = c₁ + 1 = 1 + 1 = 2;

c₃ = c₂ + 1 = 2 + 1 = 3;

c₄ = c₃ + 1 = 3 + 1 = 4.

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n được xác định bởi công thức: d_n = 2πn.

Khi đó bốn số hạng đầu của dãy (d_n­) là:

d₁ = 2π.1 = 2π;

d₂ = 2π.2 = 4π;

d₃ = 2π.3 = 6π;

d₄ = 2π.4 = 8π.

Giải Toán 11 trang 47 Tập 1

Thực hành 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

a) Chứng minh u₂ = 2.3; u₃ = 2².3; u₄ = 2³.3.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Lời giải:

a) Ta có:

n = 2 ≥ 1 nên u₂ = 2.u₁ = 2.3.

n = 3 ≥ 1 nên u₃ = 2.u₂ = 2.(2.3) = 2². 3.

n = 4 ≥ 1 nên u₄ = 2.u₃ = 2.(2².3) = 2³. 3.

b) Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 1}.3.

Vận dụng 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ (Hình 1). Gọi u_n là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (u_n) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Lời giải:

a) Ta có u₁ = 14, khi đó:

u₂ = 14 + 1 = 15;

u₃ = 15 + 1 = 14 + 2.1;

u₄ = 14 + 3.1

Khi đó công thức tổng quát của dãy số (u­_n) là: u_n = 14 + (n – 1).1.

b) Hệ thức truy hồi của dãy số (u_n) là:

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Giải Toán 11 trang 48 Tập 1

Hoạt động khám phá 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (a_n) và (b_n) được xác định như sau: a_n = 3n + 1, b_n = – 5n.

a) So sánh a_n và a_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

b) So sánh b_n và b_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

a) Ta có: a_n = 3n + 1, a_{n + 1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4

Vì n ∈ ℕ^* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay a_{n + 1} > a_n.

b) Ta có: b_n = – 5n, b_{n + 1} = – 5(n + 1) = – 5n – 5

Vì n ∈ ℕ^* nên – 5n – 5 < – 5n hay b_{n – 1} < b_n.

Thực hành 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$;

b) (x_n) với $x_n=\frac{n+2}{4^n}$;

c) (t_n) với t_n = (– 1)ⁿ . n².

Lời giải:

a) Ta có: (u_n) với $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1} \\ =\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)} \\ =\frac{3}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$.

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có: $x_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)+2}{4^{n+1}}=\frac{n+3}{{4.4}^n}$

Xét hiệu

$$\begin{gathered} x_{n+1}-x_n=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{n+1}{4^n} \\ =\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{4n+4}{{4.4}^n}=\frac{-3n-1}{{4.4}^n}<0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$.

Suy ra x_n+1 < x_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (x_n) là dãy số giảm.

c) Ta có: t_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)²

Xét hiệu: t_n+1 – t_n = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)² – ( – 1)ⁿ.n²

Với n chẵn:

t_n+1 – t_n = 0 – (n + 1)² – n² < 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 < t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số giảm.

Với n lẻ:

t_n+1 – t_n = (n + 1)² + n² > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 > t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số tăng.

Giải Toán 11 trang 49 Tập 1

Vận dụng 3 trang 49 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi u₁ = 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, u_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi v_t = 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, v_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Lời giải:

a) (u_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên nên (u_n) là dãy số giảm.

b) (v_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới nên (v_n) là dãy số tăng.

4. Dãy số bị chặn

Hoạt động khám phá 5 trang 49 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Lời giải:

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{1}{n}$ > 0 hay u_n > 0.

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó $\frac{1}{n}$$\le \frac{1}{1}$ = 1 hay u_n ≤ 1.

Do đó 0 < u_n ≤ 1.

Thực hành 4 trang 49 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_n=\cos \frac{\pi }{n}$;

b) (b_n) với $b_n=\frac{n}{n+1}$.

Lời giải:

a) Vì $-1\le \cos \frac{\pi }{n}\le 1$ nên $-1\le a_n\le 1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Do đó dãy số (a_n) bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $b_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{1}{n+1}>0$ nên $1-\frac{1}{n+1}<1$ hay b_n < 1.

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{n}{n+1}>0$ hay b_n > 0.

Suy ra 0 < b_n < 1. Do đó (b_n) là dãy bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (b_n) bị chặn.

Bài tập

Giải Toán 11 trang 50 Tập 1

Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1: Tìm u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n dãy số:

Lời giải:

Ta có: n = 2 ≥ 1 nên $u_2=\frac{u_1}{1+u_1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

n = 3 ≥ 1 nên $u_3=\frac{u_2}{1+u_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.

n = 4 ≥ 1 nên $u_4=\frac{u_3}{1+u_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$.

n = 5 ≥ 1 nên $u_5=\frac{u_4}{1+u_4}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}$.

Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số là: $u_n=\frac{1}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$. Tìm u₁, u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n.

Lời giải:

Ta có:

Dự đoán công thức tổng quát:

Bài 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (y_n) với $y_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

Lời giải:

Ta có: $y_{n+1}=\sqrt{\left(n+1\right)+1}-\sqrt{n+1}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$.

Xét hiệu

$$\begin{gathered} y_{n+1}-y_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \\ =\sqrt{n+2}+\sqrt{n}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$.

Suy ra y_n+1 > y_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (y_n) tăng.

Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_n={\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}$;

b) (u_n) với $u_n=\frac{6n-4}{n+2}$.

Lời giải:

a) Vì $0\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $-1\le \cos \frac{n\pi }{4}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $-1\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Do đó $-1\le a_n\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Suy ra dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $u_n=\frac{6n-4}{n+2}=6-\frac{16}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3

$\Rightarrow -\frac{16}{n+2}\ge -\frac{16}{3}$

$\Rightarrow 6-\frac{16}{n+2}\ge 6-\frac{16}{3}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{2}{3}$.

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{16}{n+2}>0$ khi đó u_n < 6.

Suy ra $\frac{2}{3}\le u_n<6$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với . Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_n=\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow -\frac{3}{n+1}\ge -\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2-\frac{3}{n+1}\ge 2-\frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n+1}>0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3}\le u_n<2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{n+1+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu:

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1} \\ =\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{(n+1)(n+2)} \\ =\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.

Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+1+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}$

Xét hiệu:

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1} \\ =\frac{\left(\left(n+1\right)a+2\right)\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(na+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{\left(n^2+2n+1\right)a+2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(n^2+2n\right)a+2n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \\ =\frac{a-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \end{gathered}$$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (u_n) là dãy số giảm thì u_n+1 – u_n < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.

Bài 7 trang 50 Toán 11 Tập 1: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Lời giải:

Độ dài cạnh của hình vuông số 1 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 2 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 3 là: 2;

Độ dài cạnh của hình vuông số 4 là: 3;

Độ dài cạnh của hình vuông số 5 là: 5;

Độ dài cạnh của hình vuông số 6 là: 8;

Độ dài cạnh của hình vuông số 7 là: 13;

Độ dài cạnh của hình vuông số 8 là: 21.

Ta có dãy số: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21.

Nhận xét: Dãy số trên có đặc điểm là:

Trong ba số hạng liên tiếp, số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng đầu.

Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

• Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ${\mathbb{N}}^{\ast }$được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

$u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$

$n\mapsto u_n=u\left(n\right)$

Dãy số trên được kí hiệu là $\left(u_n\right)$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$được viết dưới dạng khai triển $u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$

- Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_n$là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },u_n=c$thì $\left(u_n\right)$được gọi là dãy số không đổi.

• Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M=\left\{1;2;3;...;m\right\},m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_1,u_2,u_3,...,u_m$.

Trong đó, số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_m$là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

- Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).

- Công thức của số hạng tổng quát $u_n$.

- Phương pháp truy hồi:

+) Cho số hạng thứ nhất $u_1$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

+) Cho một công thức tính $u_n$ theo$u_{n-1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

- Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4. Dãy số bị chặn

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\mathrm{\exists }$ số M sao cho $u_n\le M,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\mathrm{\exists }$ số m sao cho $u_n\ge m,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số