Giải Toán 11 trang 50 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 50 trong Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 50.

1 312 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 50 Tập 1

Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1: Tìm u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n dãy số:

Lời giải:

Ta có: n = 2 ≥ 1 nên $u_{2} = \frac{u_{1}}{1 + u_{1}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ .

n = 3 ≥ 1 nên $u_{3} = \frac{u_{2}}{1 + u_{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$ .

n = 4 ≥ 1 nên $u_{4} = \frac{u_{3}}{1 + u_{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$ .

n = 5 ≥ 1 nên $u_{5} = \frac{u_{4}}{1 + u_{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{5}$ .

Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số là: $u_{n} = \frac{1}{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$ . Tìm u₁, u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n.

Lời giải:

Ta có:

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Dự đoán công thức tổng quát:

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Bài 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (y_n) với $y_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ .

Lời giải:

Ta có: $y_{n + 1} = \sqrt{(n + 1) + 1} - \sqrt{n + 1} = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}$ .

Xét hiệu

$y_{n + 1} - y_{n} = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1} - \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} = \sqrt{n + 2} + \sqrt{n} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra y_n+1 > y_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (y_n) tăng.

Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_{n} = \sin^{2} \frac{n π}{3} + co s \frac{n π}{4}$ ;

b) (u_n) với $u_{n} = \frac{6 n - 4}{n + 2}$ .

Lời giải:

a) Vì $0 \leq \sin^{2} \frac{n π}{3} \leq 1, \forall n \in ℕ^{*}$ và $- 1 \leq \cos \frac{n π}{4} \leq 1, \forall n \in ℕ^{*}$ nên $- 1 \leq \sin^{2} \frac{n π}{3} + co s \frac{n π}{4} \leq 2, \forall n \in ℕ^{*}$

Do đó $- 1 \leq a_{n} \leq 2, \forall n \in ℕ^{*}$

Suy ra dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $u_{n} = \frac{6 n - 4}{n + 2} = 6 - \frac{16}{n + 2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3

$\Rightarrow - \frac{16}{n + 2} \geq - \frac{16}{3}$

$\Rightarrow 6 - \frac{16}{n + 2} \geq 6 - \frac{16}{3}$

$\Rightarrow u_{n} \geq \frac{2}{3}$ .

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{16}{n + 2} > 0$ khi đó u_n < 6.

Suy ra $\frac{2}{3} \leq u_{n} < 6$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với . Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow - \frac{3}{n + 1} \geq - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2 - \frac{3}{n + 1} \geq 2 - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_{n} \geq \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n + 1} > 0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3} \leq u_{n} < 2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{n + 1 + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - 2 n^{2} - 3 n + 2}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.

Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n a + 2}{n + 1}$ . Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 1 + 1} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 2}$

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 2} - \frac{n a + 2}{n + 1} = \frac{((n + 1) a + 2) (n + 1)}{(n + 2) (n + 1)} - \frac{(n a + 2) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$