Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số 

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với . Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_n=\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow -\frac{3}{n+1}\ge -\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2-\frac{3}{n+1}\ge 2-\frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n+1}>0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3}\le u_n<2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{n+1+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu:

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1} \\ =\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{(n+1)(n+2)} \\ =\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.