Thực hành 3 trang 78 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Thực hành 3 trang 78 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) OA và BC;

b) OB và AC.

Lời giải:

a) Tam giác OBC vuông cân tại O. Gọi H là trung điểm của BC suy ra OH ⊥ BC

Ta lại có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{OA}\perp \mathrm{OB}\\ \mathrm{OA}\perp \mathrm{OC}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{OA}\perp \left(\mathrm{OBC}\right)\Rightarrow \mathrm{OA}\perp \mathrm{OH}$

Do đó OH là đoạn vuông góc chung của OA và BC.

Khi đó $d\left(\mathrm{OA},\mathrm{BC}\right)=\mathrm{OH}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{1}{2}\sqrt{{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

b)Tương tự trong tam giác OAC vuông cân tại O . Gọi K là trung điểm của AC.

Ta lại có: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{OB}\perp \mathrm{OA}\\ \mathrm{OB}\perp \mathrm{OC}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \mathrm{OB}\perp \left(\mathrm{OAC}\right)\Rightarrow \mathrm{OB}\perp \mathrm{OK}$

Do đó OK là đoạn vuông góc chung của OB và AC.

$\text{⇒ d}\left(\mathrm{OB},\mathrm{AC}\right)=\mathrm{OK}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$