Bài 6 trang 82 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 6 trang 82 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và $a\sqrt{3}$.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA′.

b) Tính thể tích của khối hộp.

Lời giải:

a) Vì hình hộp đứng $\mathrm{ABCD}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy ABCD là hình thoi tâm O.

Do đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)\\ \mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \mathrm{OA}\\ \mathrm{OA}\perp \mathrm{BD}\end{array}\right.$

Suy ra là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và AA^'.

Do đó $d\left(\mathrm{BD},{\mathrm{AA}}^{\text{'}}\right)=\mathrm{OA}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Đáy ABCD là hình thoi tâm O có AB = a và $\mathrm{AC}=a\sqrt{3}$

Do đó ta có: $\mathrm{BD}=2\mathrm{OB}=2\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{OA}}^2}=a$

Thể tích của khối hộp là:

$V={\mathrm{AA}}^{\text{'}}.S_{\mathrm{ABCD}}={\mathrm{AA}}^{\text{'}}.\frac{1}{2}\mathrm{AC}.\mathrm{BD}=\frac{1}{2}.2a.a\sqrt{3}.a=a^3\sqrt{3}.$

Vậy thể tích của khối hộp là ${\text{a}}^3\sqrt{3}.$