Giải Toán 11 trang 56 Tập 1 Cánh diều

Với giải bài tập Toán 11 trang 56 Tập 1 trong Bài 3: Cấp số nhân sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 56 Tập 1.

1 317 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 56 Tập 1

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5; – 0,5; 0,05; – 0,005; 0,0005;

b) – 9; 3; – 1; $\frac{1}{3}; - \frac{1}{9}$ ;

c) 2; 8; 32; 64; 256.

Lời giải:

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp - $\frac{1}{10}$ lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = – 0,5.

b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp - $\frac{1}{3}$ số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = – 9 và công bội q= - $\frac{1}{3}$ .

c) Ta có: $\frac{8}{2} = \frac{32}{8} = \frac{256}{64} \neq \frac{64}{32}$

Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân.

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 1: Chứng minh mỗi dãy số (u_n) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) $u_{n} = - \frac{3}{4} {.2}^{n}$ ;

b) $u_{n} = \frac{5}{3^{n}}$ ;

c) u_n = ( – 0,75)ⁿ.

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n + 1} = - \frac{3}{4} {.2}^{n + 1}$

Xét $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = (- \frac{3}{4} {.2}^{n + 1}) : (- \frac{3}{4} {.2}^{n}) = 2$

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b) Ta có: $u_{n + 1} = \frac{5}{3^{n + 1}}$

Xét $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5}{3^{n + 1}} : \frac{5}{3^{n}} = \frac{1}{3}$ .

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c) Ta có: u_n+1 = (– 0,75)ⁿ⁺¹.

Xét $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = {(- 0, 75)}^{n + 1} : {(- 0, 75)}^{n} = - 0, 75$ .

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = – 5, công bội q = 2.

a) Tìm u_n;

b) Số – 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Lời giải:

a) Ta có (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = – 5 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát là: u_n = – 5.2^n-1 với mọi n ∈ ℕ^*.

b) Xét u_n = – 5.2^n-1 = – 320

⇔ 2^n-1 = 64

⇔ n – 1 = 6

⇔ n = 7.

Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) Xét u_n = – 5.2^n-1 = 160

⇔ 2^n-1 = – 32

⇔ n – 1 = – 5

⇔ n = – 4 ∉ ℕ*

Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân.

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, $u_{3} = \frac{27}{4}$ .

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Lời giải:

a) Ta có u₃ = u₁.q²

Xét Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

+) Với q = - $\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = 3. $(- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$ ; u₃= $\frac{27}{4}$ ; u₄ = 3. ${(- \frac{3}{2})}^{3} = - \frac{81}{8}$ ; u₅ = 3. ${(- \frac{3}{2})}^{4} = \frac{243}{16}$ .

+) Với q= $\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = 3. $(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$ ; u₃= $\frac{27}{4}$ ;

u₄ = 3. ${(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{81}{8}$ ; u₅ = 3. ${(\frac{3}{2})}^{4} = \frac{243}{16}$ .

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = - $\frac{3}{2}$ là: $S_{10} = \frac{3 (1 - {(- \frac{3}{2})}^{10})}{1 - (- \frac{3}{2})} \approx$ -68.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q= $\frac{3}{2}$ là: $S_{10} = \frac{3 (1 - {(\frac{3}{2})}^{10})}{1 - (\frac{3}{2})} \approx$ 340.