Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{PQ}$;

B. $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{NP}$;

C. $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$;

D. $\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{NP}$.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ là hai vectơ ngược hướng và MN = 2PQ nên $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{1}{2}$ > 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng.

Khi đó $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\right|$ hay AC = $\frac{1}{2}$AB và A, B, C thẳng hàng.

Do đó C là trung điểm của AB.

b) Ta thấy $-\frac{1}{2}<0$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng.

Khi đó $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|$ hay AD = $\frac{1}{2}$AB và A, B, D thẳng hàng.

Do đó D nằm khác phía với B so với điểm A sao cho AD = $\frac{1}{2}$AB.

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$;

b) $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó PN // BC và PN = $\frac{1}{2}$BC.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{PN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và PN = $\frac{1}{2}$BC nên $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}$.

Vậy $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$.

b) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; M là trung điểm của BC nên PM là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MP // CA và MP = $\frac{1}{2}$CA.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng hướng và MP = $\frac{1}{2}$CA nên $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{MP}$.

Do đó $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$.

Vậy $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$.

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$;

Do BD = DE = EC và BD + DE + EC = BC nên BD = DE = EC = $\frac{1}{3}$BC.

Hai vectơ $\overrightarrow{B\text{D}}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BD = $\frac{1}{3}$BC nên $\overrightarrow{B\text{D}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)=\frac{\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{BE}$ và $\overrightarrow{B\text{D}}$ cùng hướng và BE = 2BD nên $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)=\frac{2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}}{3}$.

Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}=\frac{3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$.

Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$ nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{a}+\frac{2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}}{3}=\frac{3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}}{3}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$.

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Lời giải:

a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ (1).

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G\text{D}}=2\overrightarrow{GN}$ (2).

Do G là trung điểm của MN nên GM = GN.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GN}$ ngược hướng và GM = GN nên $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GN}$.

Do đó $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$.

Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G\text{D}}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}\right)=\overrightarrow{0}$.

Ta có

$$\begin{gathered} \overrightarrow{E\text{A}}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{E\text{D}} \\ =\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GD}} \end{gathered}$$.

$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{\text{GD}}\right)$

$=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$.

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$.

c) Do $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{E\text{A}}$ và $\overrightarrow{EG}$ cùng hướng.

Mà 4 > 0 nên G nằm giữa A và E.

Do đó $\left|\overrightarrow{EA}\right|=4\left|\overrightarrow{EG}\right|$ hay EA = 4EG.

$\Rightarrow$ EG = $\frac{1}{4}$EA

$\Rightarrow$ AG = $\frac{3}{4}$EA.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{A\text{E}}$ cùng hướng và AG = $\frac{3}{4}$EA nên $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{A\text{E}}$.

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$.

Do M là trung điểm của BC nên BM = $\frac{1}{2}$BC.

Hai vectơ $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BM = $\frac{1}{2}$BC nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{\overrightarrow{b}}{2}$.

Do N là trung điểm của AB nên NB = $\frac{1}{2}$AB.

Hai vectơ $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng và NB = $\frac{1}{2}$AB nên $\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{-\overrightarrow{a}}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}$; $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CN}$.

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}\right)=\frac{-2}{3}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$.

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn 

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

a) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$.

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$.

a) Do $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}}{3}-\frac{\overrightarrow{AC}}{3}$.

Ta có: $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{AB}}{3}-\frac{\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{A\text{E}}-\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Từ phần a ta thấy $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó D, H, E thẳng hàng và H là trung điểm của DE.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 88 Tập 1

Giải Toán 10 trang 89 Tập 1

Giải Toán 10 trang 90 Tập 1

Giải Toán 10 trang 91 Tập 1

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp