Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 Cánh diều

Với giải bài tập Toán lớp 10 trang 92 Tập 1 trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 92 Tập 1.

1 568 16/02/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\vec{M N} = 2 \vec{P Q}$ ;

B. $\vec{M Q} = 2 \vec{N P}$ ;

C. $\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}$ ;

D. $\vec{M Q} = - 2 \vec{N P}$ .

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{P Q}$ là hai vectơ ngược hướng và MN = 2PQ nên $\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}$ .

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{1}{2}$ > 0 nên hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng.

Khi đó $|\vec{A C}| = \frac{1}{2} |\vec{A B}|$ hay AC = $\frac{1}{2}$ AB và A, B, C thẳng hàng.

Do đó C là trung điểm của AB.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

b) Ta thấy $- \frac{1}{2} < 0$ nên hai vectơ $\vec{A D}$ và $\vec{A B}$ ngược hướng.

Khi đó $|\vec{A D}| = |- \frac{1}{2}| |\vec{A B}|$ hay AD = $\frac{1}{2}$ AB và A, B, D thẳng hàng.

Do đó D nằm khác phía với B so với điểm A sao cho AD = $\frac{1}{2}$ AB.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó PN // BC và PN = $\frac{1}{2}$ BC.

Ta thấy hai vectơ $\vec{P N}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và PN = $\frac{1}{2}$ BC nên $\vec{P N} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Do đó $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A P} + \vec{P N} = \vec{A N}$ .

Vậy $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ .

b) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; M là trung điểm của BC nên PM là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MP // CA và MP = $\frac{1}{2}$ CA.

Ta thấy hai vectơ $\vec{M P}$ và $\vec{C A}$ cùng hướng và MP = $\frac{1}{2}$ CA nên $\vec{M P} = \frac{1}{2} \vec{C A}$ hay $\vec{C A} = 2 \vec{M P}$ .

Do đó $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{B A}$ .

Vậy $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$ ;

Do BD = DE = EC và BD + DE + EC = BC nên BD = DE = EC = $\frac{1}{3}$ BC.

Hai vectơ $\vec{B D}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và BD = $\frac{1}{3}$ BC nên $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C} = \frac{1}{3} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{\vec{b} - \vec{a}}{3}$ .

Hai vectơ $\vec{B E}$ và $\vec{B D}$ cùng hướng và BE = 2BD nên $\vec{B E} = 2 \vec{B D} = \frac{2}{3} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2 \vec{b} - 2 \vec{a}}{3}$ .

Có $\vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D}$ nên $\vec{A D} = \vec{a} + \frac{\vec{b} - \vec{a}}{3} = \frac{3 \vec{a} + \vec{b} - \vec{a}}{3} = \frac{2 \vec{a} + \vec{b}}{3}$ .

Có $\vec{A B} + \vec{B E} = \vec{A E}$ nên $\vec{A E} = \vec{a} + \frac{2 \vec{b} - 2 \vec{a}}{3} = \frac{3 \vec{a} + 2 \vec{b} - 2 \vec{a}}{3} = \frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3}$ .

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ ;

b) $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Lời giải:

a) Do M là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G M}$ (1).

Do N là trung điểm của CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G N}$ (2).

Do G là trung điểm của MN nên GM = GN.

Ta thấy hai vectơ $\vec{G M}$ và $\vec{G N}$ ngược hướng và GM = GN nên $\vec{G M} = - \vec{G N}$ .

Do đó $\vec{G M} + \vec{G N} = - \vec{G N} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Từ (1) và (2) ta có $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G M} + 2 \vec{G N} = 2 (\vec{G M} + \vec{G N}) = \vec{0}$ .

Ta có

$\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = \vec{E G} + \vec{GA} + \vec{E G} + \vec{GB} + \vec{E G} + \vec{GC} + \vec{E G} + \vec{GD}$ .

$= 4 \vec{E G} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD})$

$= 4 \vec{E G}$

Vậy $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ .

c) Do $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ nên hai vectơ $\vec{E A}$ và $\vec{E G}$ cùng hướng.

Mà 4 > 0 nên G nằm giữa A và E.

Do đó $|\vec{E A}| = 4 |\vec{E G}|$ hay EA = 4EG.

$\Rightarrow$ EG = $\frac{1}{4}$ EA

$\Rightarrow$ AG = $\frac{3}{4}$ EA.

Ta thấy hai vectơ $\vec{A G}$ và $\vec{A E}$ cùng hướng và AG = $\frac{3}{4}$ EA nên $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Lời giải:

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C} = \vec{b}$ .

Do M là trung điểm của BC nên BM = $\frac{1}{2}$ BC.

Hai vectơ $\vec{B M}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và BM = $\frac{1}{2}$ BC nên $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C} = \frac{\vec{b}}{2}$ .

Do N là trung điểm của AB nên NB = $\frac{1}{2}$ AB.

Hai vectơ $\vec{B N}$ và $\vec{A B}$ ngược hướng và NB = $\frac{1}{2}$ AB nên $\vec{B N} = - \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{- \vec{a}}{2}$ .

Ta có $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2}$ ; $\vec{C N} = \vec{C B} + \vec{B N} = - \vec{b} - \frac{\vec{a}}{2}$ .

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ và $\vec{C G} = \frac{2}{3} \vec{C N}$ .

Do đó $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{a} + \frac{\vec{b}}{2}) = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ và $\vec{C G} = \frac{2}{3} (- \vec{b} - \frac{\vec{a}}{2}) = \frac{- 2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{a}$ .

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}, \vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

a) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{A D}, \vec{D H}, \vec{H E}$ theo hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ nên $\vec{D B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và $D B = \frac{1}{3} B C$ .

$\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ nên $\vec{A E}, \vec{A C}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3} A C$ .

$\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ nên $\vec{A H}, \vec{A B}$ cùng hướng và $A H = \frac{2}{3} A B$ .

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Do $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ nên $\vec{B D} = - \frac{1}{3} \vec{B C} = - \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C}) = - \frac{1}{3} (- \vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{\vec{A B}}{3} - \frac{\vec{A C}}{3}$ .

Ta có: $\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A B} + \frac{\vec{A B}}{3} - \frac{\vec{A C}}{3} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

$\vec{D H} = \vec{D B} + \vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{1}{3} \vec{B A} = \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C}) + \frac{1}{3} \vec{B A}$

$= \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{A C} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

$\vec{H E} = \vec{A E} - \vec{A H} = \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B} = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

b) Từ phần a ta thấy $\vec{D H} = \vec{H E} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó D, H, E thẳng hàng và H là trung điểm của DE.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 88 Tập 1

Giải Toán 10 trang 89 Tập 1

Giải Toán 10 trang 90 Tập 1

Giải Toán 10 trang 91 Tập 1

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

1 568 16/02/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3