Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Lời giải:

a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ (1).

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G\text{D}}=2\overrightarrow{GN}$ (2).

Do G là trung điểm của MN nên GM = GN.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GN}$ ngược hướng và GM = GN nên $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GN}$.

Do đó $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$.

Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G\text{D}}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}\right)=\overrightarrow{0}$.

Ta có

$$\begin{gathered} \overrightarrow{E\text{A}}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{E\text{D}} \\ =\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GD}} \end{gathered}$$.

$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{\text{GD}}\right)$

$=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$.

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$.

c) Do $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{E\text{A}}$ và $\overrightarrow{EG}$ cùng hướng.

Mà 4 > 0 nên G nằm giữa A và E.

Do đó $\left|\overrightarrow{EA}\right|=4\left|\overrightarrow{EG}\right|$ hay EA = 4EG.

$\Rightarrow$ EG = $\frac{1}{4}$EA

$\Rightarrow$ AG = $\frac{3}{4}$EA.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{A\text{E}}$ cùng hướng và AG = $\frac{3}{4}$EA nên $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{A\text{E}}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58)...

Hoạt động 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B là trung điểm của AC...

Hoạt động 2 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B là trung điểm của AC...

Luyện tập 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G...

Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$...

Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý...

Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý...

Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$...

Hoạt động 5 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$...

Hoạt động 6 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng...

Luyện tập 4 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau...

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng...

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. a) Xác định điểm C thỏa mãn...

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB...

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC...

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$...

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp