Giải Toán 10 trang 90 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 90 Tập 1

Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$; $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$.

Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$.

Do I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$.

Do đó $2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.

Do D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do E là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}$.

Do F là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CF}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{A\text{D}}+2\overrightarrow{BE}+2\overrightarrow{CF}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{A\text{D}}+2\overrightarrow{BE}+2\overrightarrow{CF}$.

$\Rightarrow 2\overrightarrow{A\text{D}}+2\overrightarrow{BE}+2\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow -\left(\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}\right)=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow -\overrightarrow{A\text{D}}-\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$\overrightarrow{GA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DA}$; $\overrightarrow{GB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{EB}$; $\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.

Lời giải:

Gọi D là trung điểm của BC.

Do D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A\text{D}}$ hay $\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A\text{D}}=2.\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 88 Tập 1

Giải Toán 10 trang 89 Tập 1

Giải Toán 10 trang 90 Tập 1

Giải Toán 10 trang 91 Tập 1

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp