Giải Toán 10 trang 87 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 87 Tập 1

Bài 1 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}$ bằng vectơ nào sau đây?

A. $\overrightarrow{PN}$;

B. $\overrightarrow{PM}$;

C. $\overrightarrow{MP}$;

D. $\overrightarrow{NM}$.

Lời giải:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.$

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 2 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm D, E, G. Vectơ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DE}+\left(-\overrightarrow{DG}\right)$ bằng vectơ nào sau đây?

A. $\overrightarrow{EG}$;

B. $\overrightarrow{GE}$;

C. $\overrightarrow{GD}$;

D. $\overrightarrow{ED}$.

Lời giải:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DE}+\left(-\overrightarrow{DG}\right)=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{GE}$.

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Bài 3 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{DB}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C\text{D}}$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}+\left(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DB}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA}\right)$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}$;

c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ hay $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Vậy khẳng định a đúng.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

Mà $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}$ nên khẳng định b sai.

c) Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC, OB = OD.

Mà A và C nằm ở hai phía so với điểm O, B và D nằm ở hai phía so với điểm O nên $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$; $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{O\text{D}}$.

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O\text{D}}\right)$.

Vậy khẳng định c sai.

Bài 5 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau. 

Lời giải:

Để hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau thì OA = OB và $\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}$ ngược hướng nhau.

Do A và B là hai điểm nằm trên đường tròn nên OA = OB = R.

Do đó cần thêm điều kiện hai vectơ $\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}$ ngược hướng nhau.

Để hai vectơ $\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}$ ngược hướng nhau thì O nằm giữa A và B.

Mà OA = OB nên O là trung điểm của AB.

Lại có O là tâm của đường tròn nên AB là đường kính của đường tròn (O).

Vậy AB là đường kính của đường tròn (O) thì hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau.

Bài 6 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$ với mỗi điểm M trong mặt phẳng.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{M\text{D}}=\overrightarrow{DC}$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Vậy $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$.

Bài 7 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$;

c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ với O là giao điểm của AC và BD.

Lời giải:

a)

 Xét tam giác ABD vuông tại A, có:

BD2 = AB2 + AD2 (định lí Pythagoras)

⇔ BD2 = a2 + a2 = 2a2

⇔ BD = a

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\sqrt{2}a$.

Vậy $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\sqrt{2}a$.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\sqrt{2}a$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{2}a$.

c) Do O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$.

Do đó $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DA}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\right|=a$ .

Bài 8 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ đều là 120 N và $\widehat{AOB}=120°$. Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow{F_3}$.

Lời giải:

Do ba lực  cùng tác động lên vật và vật đứng yên nên .

$\Rightarrow \overrightarrow{F_3}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)$.

Dựng hình bình hành AOBD.

Gọi E là giao điểm hai đường chéo AB và OD.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O\text{D}}$ hay $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OD}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{F_3}=-\overrightarrow{OD}$.

Do $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ = 120 N nên OA = OB.

Hình bình hành AOBD có OA = OB nên AOBD là hình thoi.

Do đó $AB\perp O\text{D}$ tại E.

Do AOBD là hình thoi nên OD là tia phân giác của $\widehat{AOB}$.

Do đó $\widehat{AO\text{E}}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.120°=60°$.

Trong tam giác AOE vuông tại E ta có:

$\cos \widehat{AOE}=\frac{OE}{OA}$

$\Rightarrow$ OE = OA . cos $\widehat{AO\text{E}}$ = 120 . cos 60^o = 60 N.

Do E là giao điểm hai đường chéo của hình thoi AOBD nên E là trung điểm của OD.

Do đó OD = 120 N.

Vậy vectơ $\overrightarrow{F_3}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{O\text{D}}$ và $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|-\overrightarrow{O\text{D}}\right|$ = 120 N.

Bài 9 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Lời giải:

Cano chuyển động từ phía đông sang phía tây nên giả sử cano di chuyển từ A sang C, vectơ biểu thị vận tốc so với mặt nước của cano là vectơ $\overrightarrow{AC}$.

Khi đó $\left|\overrightarrow{AC}\right|=40$.

Dòng nước chảy từ phía bắc xuống phía nam nên vectơ biểu thị vận tốc của dòng nước là vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Khi đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=10$.

Khi đó vận tốc của cano so với bờ sông được biểu thị bằng vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Dựng hình bình hành ACDB như hình vẽ trên.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do hướng đông tây vuông góc với hướng bắc nam nên AC vuông góc với AB.

Do đó ACDB là hình chữ nhật.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại B:

AD² = AB² + BD²

$\Rightarrow$ AD² = 10² + 40²

$\Rightarrow$ AD² = 1 700

$\Rightarrow$ AD = $10\sqrt{17}$ km/h

Vậy vận tốc của cano so với bờ sông bằng $10\sqrt{17}$ km/h.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 83 Tập 1

Giải Toán 10 trang 84 Tập 1

Giải Toán 10 trang 85 Tập 1

Giải Toán 10 trang 86 Tập 1

Giải Toán 10 trang 87 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Mệnh đề toán học