Giải Toán 10 trang 80 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 80 Tập 2

Bài 3 trang 80 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3t\\ y=2+2t\end{array}\right.$.

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy.

c) Đường thẳng d có đi qua điểm M(– 7; 5) hay không?

Lời giải

a) Đường thẳng d có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3t\\ y=2+2t\end{array}\right.$.

Do đó, d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-3;2\right)$.

Suy ra d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$.

Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của d ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3.0=-1\\ y=2+2.0=2\end{array}\right.$.

Do đó điểm A(– 1; 2) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua điểm A(– 1; 2) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là

2(x + 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 4 = 0.

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục Ox và Oy.

Vì E thuộc Ox nên tọa độ điểm E là E(a; 0).

Mà điểm E cũng thuộc d nên tọa độ điểm E thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d nên thay (a; 0) vào phương trình đường thẳng d ta được:

2 . a + 3 . 0 – 4 = 0 ⇔ a = 2.

Do đó, E(2; 0).

Vì điểm F thuộc Oy nên tọa độ điểm F là F(0; b).

Mà điểm F thuộc d nên tọa độ điểm F thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d nên thay (0; b) vào phương trình đường thẳng d ta được:

2 . 0 + 3 . b – 4 = 0 ⇔ b = $\frac{4}{3}$.

Do đó, $F\left(0;\frac{4}{3}\right)$.

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy lần lượt là các điểm E(2; 0) và $F\left(0;\frac{4}{3}\right)$.

c) Thay tọa độ điểm M(– 7; 5) vào phương trình tổng quát của đường thẳng d ta được:

2 . (– 7) + 3 . 5 – 4 = 0 ⇔ – 3 = 0 (vô lý).

Vậy đường thẳng d không đi qua điểm M(– 7; 5).

Bài 4 trang 80 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM = 5 với O là gốc tọa độ.

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3.

Lời giải

a) Đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0.

Suy ra d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$.

Do đó d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$.

Với y = 0 thay vào phương trình tổng quát của d ta được: x – 2 . 0 – 5 = 0 ⇔ x = 5.

Suy ra điểm A(5; 0) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=t\end{array}\right.$ (t là tham số).

b) Vì điểm M thuộc đường thẳng d nên ta gọi tọa độ điểm M(5 + 2t; t).

Với O là gốc tọa độ, ta có: $\overrightarrow{OM}=\left(5+2t;t\right)$, suy ra $OM=\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{{\left(5+2t\right)}^2+t^2}$.

Theo bài ra ta có OM = 5.

Do đó: $\sqrt{{\left(5+2t\right)}^2+t^2}=5$

⇒ (5 + 2t)² + t² = 25 (bình phương cả hai vế)

⇔ 25 + 20t + 4t² + t² = 25

⇔ 5t² + 20t = 0

⇔ t² + 4t = 0

⇔ t(t + 4) = 0

⇔ t = 0 hoặc t = – 4.

+ Với t = 0 thì tọa độ M(5; 0).

+ Với t = – 4 thì tọa độ M(– 3; – 4).

Vậy M(5; 0) hoặc M(– 3; – 4) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Vì điểm N thuộc đường thẳng d nên gọi tọa độ điểm N(5 + 2t; t).

Gọi hình chiếu của N lên trục hoành Ox là E.

E thuộc trục hoành nên E có tung độ bằng 0 và E là hình chiếu của N lên Ox nên hoành độ của điểm E bằng hoành độ của điểm N.

Suy ra tọa độ của điểm E là E(5 + 2t; 0).

Khoảng cách từ N đến trục hoành Ox chính bằng đoạn thẳng NE.

Do đó NE = 3.

Ta có: $\overrightarrow{NE}=\left(0;-t\right)$

Suy ra $NE=\left|\overrightarrow{NE}\right|=\sqrt{0^2+{\left(-t\right)}^2}=\sqrt{t^2}=\left|t\right|$.

Do đó: |t| = 3, suy ra t = 3 hoặc t = – 3.

+ Với t = 3 thì N(11; 3).

+ Với t = – 3 thì N(– 1; – 3).

Vậy N(11; 3) hoặc N(– 1; – 3) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5 trang 80 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(1; 3), B(– 1; – 1), C(5; – 3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC;

b) Đường trung trực cạnh AB;

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(\left(-1\right)-1;\left(-1\right)-3\right)$ nên $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4\right)$.

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{u_{AB}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\left(-2;–4\right)=\left(1;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(2;-1\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là

2(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(5-\left(-1\right);\left(-3\right)-\left(-1\right)\right)$ nên $\overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)$.

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{u_{BC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(6;–2\right)=\left(3;-1\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng BC có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{BC}}=\left(1;3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là

1(x + 1) + 3(y + 1) = 0 hay x + 3y + 4 = 0.

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(5-1;\left(-3\right)-3\right)$ nên $\overrightarrow{AC}=\left(4;-6\right)$.

Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{u_{AC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left(4;–6\right)=\left(2;-3\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AC có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AC}}=\left(3;2\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AC là

3(x – 1) + 2(y – 3) = 0 hay 3x + 2y – 9 = 0.

b) Gọi E là trung điểm của AB.

Khi đó tọa độ của điểm E là $\left\{\begin{array}{l}{x}_E=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+\left(-1\right)}{2}=0\\ y_E=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1\end{array}\right.$ hay E(0; 1).

Đường trung trực cạnh AB vuông góc với AB nên nhận $\overrightarrow{u_{AB}}=\left(1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó đường trung trực cạnh AB đi qua điểm E(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right).$

Vậy phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AB là

1(x – 0) + 2(y – 1) = 0 hay x + 2y – 2 = 0.

c) Đường cao AH của tam giác ABC vuông góc với cạnh BC.

Do đó đường cao AH đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{u_{BC}}=\left(3;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là

3(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 3x – y = 0.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Suy ra tọa độ của điểm M là $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{\left(-1\right)+5}{2}=2\\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{\left(-1\right)+\left(-3\right)}{2}=-2\end{array}\right.$ hay M(2; – 2).

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(1;-5\right)$ là vectơ chỉ phương của đường trung tuyến AM.

Suy ra AM có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$.

Đường trung tuyến AM đi qua A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là

5(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 5x + y – 8 = 0.

Bài 6 trang 80 Toán 10 Tập 2: Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng Δ ở Hình 38 biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để tham gia một phòng tập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng).

 

a) Viết phương trình của đường thẳng Δ.

b) Giao điểm của đường thẳng Δ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì?

c) Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng.

Lời giải

a) Từ Hình 38 ta thấy đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A(0; 1,5) và B(7; 5).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(7;\mathrm{3,5}\right)$.

Suy ra đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{7}\left(7;\mathrm{3,5}\right)=\left(2;1\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=\mathrm{1,5}+t\end{array}\right.$ (t là tham số).

b) Giao điểm của đường thẳng ∆ với trục tung là điểm A(0; 1,5).

Giao điểm của đường thẳng Δ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa là khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả là 1,5 triệu đồng.

c) Người đó tham gia phòng tập thể dục với thời gian là 12 tháng hay x = 12.

Thay x = 12 vào phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta được: $\left\{\begin{array}{l}12=2t\\ y=\mathrm{1,5}+t\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}t=6\\ y=\mathrm{1,5}+t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=6\\ y=\mathrm{1,5}+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=6\\ y=\mathrm{7,5}\end{array}\right.$.

Do đó với x = 12 (tháng) thì y = 7,5 (triệu đồng).

Vậy tổng chi phí mà người đo phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng là 7,5 triệu đồng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 73 Tập 2

Giải Toán 10 trang 74 Tập 2

Giải Toán 10 trang 75 Tập 2

Giải Toán 10 trang 76 Tập 2

Giải Toán 10 trang 79 Tập 2

Giải Toán 10 trang 80 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng