Bài 5 trang 80 Toán 10 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Lời giải Bài 5 trang 80 Toán 10 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

1 772 lượt xem

Giải Toán 10 Cánh diều Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 5 trang 80 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(1; 3), B(– 1; – 1), C(5; – 3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC;

b) Đường trung trực cạnh AB;

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Lời giải

a) Ta có: $\vec{A B} = ((- 1) - 1; (- 1) - 3)$ nên $\vec{A B} = (- 2; - 4)$ .

Đường thẳng AB nhận $\vec{u_{A B}} = - \frac{1}{2} \vec{A B} = - \frac{1}{2} (- 2; - 4) = (1; 2)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{A B}} = (2; - 1)$ .

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là

2(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

Ta có: $\vec{B C} = (5 - (- 1); (- 3) - (- 1))$ nên $\vec{B C} = (6; - 2)$ .

Đường thẳng BC nhận $\vec{u_{B C}} = \frac{1}{2} \vec{B C} = \frac{1}{2} (6; - 2) = (3; - 1)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng BC có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{B C}} = (1; 3)$ .

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là

1(x + 1) + 3(y + 1) = 0 hay x + 3y + 4 = 0.

Ta có: $\vec{A C} = (5 - 1; (- 3) - 3)$ nên $\vec{A C} = (4; - 6)$ .

Đường thẳng AC nhận $\vec{u_{A C}} = \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{2} (4; - 6) = (2; - 3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AC có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{A C}} = (3; 2)$ .

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AC là

3(x – 1) + 2(y – 3) = 0 hay 3x + 2y – 9 = 0.

b) Gọi E là trung điểm của AB.

Khi đó tọa độ của điểm E là $\{\begin{cases} x_{E} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{1 + (- 1)}{2} = 0 \\ y_{E} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{3 + (- 1)}{2} = 1 \end{cases}$ hay E(0; 1).

Đường trung trực cạnh AB vuông góc với AB nên nhận $\vec{u_{A B}} = (1; 2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó đường trung trực cạnh AB đi qua điểm E(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2) .$

Vậy phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AB là

1(x – 0) + 2(y – 1) = 0 hay x + 2y – 2 = 0.

c) Đường cao AH của tam giác ABC vuông góc với cạnh BC.

Do đó đường cao AH đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\vec{u_{B C}} = (3; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là

3(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 3x – y = 0.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Suy ra tọa độ của điểm M là $\{\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = \frac{(- 1) + 5}{2} = 2 \\ y_{M} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = \frac{(- 1) + (- 3)}{2} = - 2 \end{cases}$ hay M(2; – 2).