Giải Toán 10 trang 66 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 66 Tập 2

Bài 4 trang 66 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$.

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NM}$.

Lời giải 

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(3-\left(-1\right);\left(-1\right)-1\right)$. Do đó $\overrightarrow{BC}=\left(4;-2\right)$.

Gọi tọa độ điểm M(x_M; y_M), khi đó ta có $\overrightarrow{AM}=\left(x_M-2;y_M-3\right)$.

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$$\iff \overrightarrow{AM}=\left(4;-2\right)\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M-2=4\\ y_M-3=-2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M=6\\ y_M=1\end{array}\right.$.  

Vậy tọa độ điểm M là (6; 1).

b) + Gọi tọa độ điểm N(x_N; y_N).

Ta có: $\overrightarrow{AN}=\left(x_N-2;y_N-3\right)$, $\overrightarrow{NC}=\left(3-x_N;\left(-1\right)-y_N\right)$.

Do N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$ (hai vectơ này cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau).

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N-2=3-x_N\\ y_N-3=\left(-1\right)-y_N\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}2x_N=5\\ 2y_N=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N=\frac{5}{2}\\ y_N=1\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ của điểm N là $\left(\frac{5}{2};1\right)$.

+ Ta có: $\overrightarrow{BN}=\left(\frac{5}{2}-\left(-1\right);1-1\right)$, do đó $\overrightarrow{BN}=\left(\frac{7}{2};0\right)$.

Lại có: $\overrightarrow{NM}=\left(6-\frac{5}{2};1-1\right)$, do đó $\overrightarrow{NM}=\left(\frac{7}{2};0\right)$.

Vậy $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NM}$.

Bài 5 trang 66 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3).

a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O.

b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox.

c) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy.

Lời giải 

a) Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.

Do đó $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OM}$.

Gọi tọa độ điểm A(x_A; y_A).

Ta có: $\overrightarrow{AO}=\left(0-x_A;0-y_A\right)$, do đó $\overrightarrow{AO}=\left(-x_A;-y_A\right)$.

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ điểm M nên $\overrightarrow{OM}=\left(-1;3\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OM}$ $\iff \overrightarrow{AO}=\left(-1;3\right)\iff \left\{\begin{array}{l}-x_A=-1\\ -y_A=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=1\\ y_A=-3\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ điểm A là (1; – 3).

b) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.  

Điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ của điểm B là hoành độ của điểm M và tung độ của điểm B đối nhau với tung độ của điểm M.

Vậy ta có tọa độ của B là (– 1; – 3).

c) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau.  

Điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm C là tung độ của điểm M và hoành độ của điểm C đối nhau với hoành độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm C là C(1; 3).

Ta cũng có thể biểu diễn tọa độ các điểm lên mặt phẳng tọa độ Oxy để xác định.

 

Bài 6 trang 66 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2). Tìm toạ độ của hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành nhận I làm tâm đối xứng.

Lời giải 

+ Gọi tọa độ điểm C(x_C; y_C), tọa độ điểm D(x_D; y_D).

Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left(4-\left(-3\right);2-1\right)$, do đó $\overrightarrow{AI}=\left(7;1\right)$.

 $\overrightarrow{IC}=\left(x_C-4;y_C-2\right)$.

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD, do đó I là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}$

$\iff \overrightarrow{IC}=\left(7;1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C-4=7\\ y_C-2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=11\\ y_C=3\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ điểm C là (11; 3).

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(\left(-1\right)-\left(-3\right);3-1\right)$, do đó $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$.

Và $\overrightarrow{DC}=\left(11-x_D;3-y_D\right)$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$\iff \overrightarrow{DC}=\left(2;2\right)$$\iff \left\{\begin{array}{l}11-x_D=2\\ 3-y_D=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=9\\ y_D=1\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ điểm D là (9; 1).

Bài 7 trang 66 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1; – 2), N(4; – 1) và P(6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

Lời giải 

Gọi tọa độ các điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Ta có: $\overrightarrow{AP}=\left(6-x_A;2-y_A\right)$,$\overrightarrow{PB}=\left(x_B-6;y_B-2\right)$,$\overrightarrow{BM}=\left(1-x_B;\left(-2\right)-y_B\right)$,

$\overrightarrow{MC}=\left(x_C-1;y_C-\left(-2\right)\right)$, $\overrightarrow{AN}=\left(4-x_A;\left(-1\right)-y_A\right)$, $\overrightarrow{NC}=\left(x_C-4;y_c-\left(-1\right)\right)$.

+ M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}\iff \left\{\begin{array}{l}1-x_B=x_C-1\\ \left(-2\right)-y_B=y_C-\left(-2\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=2-x_C\\ y_B=-4-y_C\end{array}\right.$(1)

+ N là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}\iff \left\{\begin{array}{l}4-x_A=x_C-4\\ \left(-1\right)-y_A=y_C-\left(-1\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=8-x_C\\ y_A=-2-y_C\end{array}\right.$(2)

+ P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}\iff \left\{\begin{array}{l}6-x_A=x_B-6\\ 2-y_A=y_B-2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=12-x_B\\ y_A=4-y_B\end{array}\right.$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\left\{\begin{array}{l}8-x_C=12-x_B\\ -2-y_C=4-y_B\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=4+x_C\\ y_B=6+y_C\end{array}\right.$ (4)

Từ (1) và (4) suy ra: $\left\{\begin{array}{l}2-x_C=4+x_C\\ -4-y_C=6+y_C\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x_C=-2\\ 2y_C=-10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=-1\\ y_C=-5\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ điểm C là (– 1; – 5).

Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A=8-\left(-1\right)=9\\ y_A=-2-\left(-5\right)=3\end{array}\right.$.

Do đó A(9; 3).

Thay tọa độ điểm C vào (1) ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_B=2-\left(-1\right)=3\\ y_B=-4-\left(-5\right)=1\end{array}\right.$.

Do đó B(3; 1).

Vậy A(9; 3), B(3; 1) và C(– 1; – 5).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 60 Tập 2

Giải Toán 10 trang 61 Tập 2

Giải Toán 10 trang 62 Tập 2

Giải Toán 10 trang 63 Tập 2

Giải Toán 10 trang 64 Tập 2

Giải Toán 10 trang 65 Tập 2

Giải Toán 10 trang 66 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic