Giải SBT Toán 7 trang 69 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 7 trang 69 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.43 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1: Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF bằng nhau (H.4.48). Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABE vuông tại E, do đó:

$$\begin{gathered} \widehat{A}+\widehat{ABE}=90° \\ \Rightarrow \widehat{ABE}=90°-\widehat{A} \end{gathered}$$.

Tam giác ACF vuông tại F, do đó:

$$\begin{gathered} \widehat{A}+\widehat{ACF}=90° \\ \Rightarrow \widehat{ACF}=90°-\widehat{A} \end{gathered}$$.

Từ đó, suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$.

Xét tam giác vuông AEB và tam giác vuông AFC có:

BE = CF (theo giả thiết)

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (cmt)

Do đó, ∆AEB = ∆AFC (cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Bài 4.44 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:

a) ∆ABD vuông tại B.

b) ∆ABD = ∆BAC.

c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

MA = MD (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AMC = ∆DMB (c – g – c).

Suy ra $\widehat{DBM}=\widehat{ACM}$ (hai góc tương ứng).

Do tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$.

Khi đó, ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}$$=\widehat{ABC}+\widehat{DBM}$= $\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=90°$.

Suy ra $\widehat{ABD}=90°$.

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:

BD = AC (do ∆AMC = ∆DMB)

AB: cạnh chung

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (hai cạnh góc vuông).

c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC ⊥ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB ⊥ AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

$\Rightarrow \widehat{BDA}=\widehat{CAD}$ (hai góc so le trong).

Lại có: $\widehat{ACB}=\widehat{BDA}$ (do ∆ABD = ∆BAC).

Do đó, $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$, hay $\widehat{CAM}=\widehat{ACM}$.

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.

Bài 4.45 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Chứng minh rằng:

a) Hai đường trung tuyến BM, CN bằng nhau (H.4.50a).

b) Hai đường phân giác BE, CF bằng nhau (H.4.50b).

Hướng dẫn giải

a) Do BM và CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Khi đó, $$\begin{gathered} AM=MC=\frac{AC}{2}; \\ AN=NB=\frac{AB}{2} \end{gathered}$$.

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).

Do đó, AM = MC = AN = NB.

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

AB = AC

$\widehat{A}$: góc chung

AM = AN

Do đó, ∆ABM = ∆ACN (c – g – c).

Suy ra BM = CN (đpcm).

b) Do BE là đường phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Và CF là đường phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACF}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).

Do đó, $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$.

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

$\widehat{A}$: góc chung

AB = AC

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$

Do đó, ∆ABE = ∆ACF (g – c – g)

Suy ra, BE = CF (đpcm).

Bài 4.46 trang 69 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.51. Chứng minh rằng:

a) ∆AEB và ∆DEC là các tam giác cân đỉnh E.

b) AB // CD.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác vuông ADB và tam giác vuông BCA có:

AB: cạnh huyền chung

AD = CB (gt)

Do đó, ∆ADB = ∆BCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$.

Khi đó tam giác EAB cân tại đỉnh E.

Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông BCE có:

AD = CB (gt)

EA = EB (∆EAB cân tại đỉnh E)

Do đó, ∆ADE = ∆BCE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra ED = EC.

Do đó, tam giác EDC cân tại đỉnh E.

b) Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EAB, ta có:

$\widehat{EBA}+\widehat{EAB}+\widehat{AEB}=180°$

Mà $\widehat{EBA}=\widehat{EAB}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{EBA}=\frac{180°-\widehat{AEB}}{2}$.      (1)

Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EDC, ta có:

$\widehat{EDC}+\widehat{ECD}+\widehat{DEC}=180°$

Mà $\widehat{EDC}=\widehat{ECD}$ (∆ECD cân tại đỉnh E).

Suy ra $\widehat{EDC}=\frac{180°-\widehat{DEC}}{2}$.      (2)

Ta lại có: $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh).    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{EDC}$, hay $\widehat{DBA}=\widehat{BDC}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy AB // DC.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 7 trang 68 Tập 1

Giải SBT Toán 7 trang 70 Tập 1

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác

Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Ôn tập chương 4