Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc (ABC), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3 trang 55 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH ⊥ MD tại H.

a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng GK ⊥ (ABC).

Lời giải:

a)Tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow$ Trung tuyến AM ⊥ BC.

Lại có DA ⊥ (ABC) $\Rightarrow$ DA ⊥ BC.

$\Rightarrow$ BC ⊥ (ADM) $\iff$ BC ⊥ AH. (1)

Theo giả thiết: AH ⊥ DM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ (BCD).

b)Ta có: $\frac{MK}{MD}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$ nên GK // AD (theo định lí Thalès).

Ta lại có AD ⊥ (ABC) suy ra GK ⊥ (ABC).