Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 56 trang 85 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:

a) $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$;

b) CN = MA;

c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.

Lời giải

 

a) Xét $∆$MAB vuông tại M có: $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90).

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180°$

Suy ra $\widehat{MAB}+\widehat{CAN}=180°-\widehat{BAC}=90°$

Lại có $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$.

Vậy $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$.

b) Xét $∆$MAB và $∆$NCA có:

$\widehat{BMA}=\widehat{ANC}\left(=90°\right)$,

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\frac{180°-90°}{2}=45°$.

• Nếu a // BC thì $\widehat{MAB}=\widehat{ABC}$ (hai góc so le trong).

Do đó $\widehat{MAB}=45°$.

Xét $∆$ABM có $\widehat{AMB}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{MBA}=180°-\widehat{AMB}-\widehat{MAB}=180°-90°-45°=45°$.

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có $\widehat{AMB}=90°$ và $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ nên DAMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì $\widehat{CAN}=\widehat{ACB}=45°$ (hai góc so le trong)

Xét $∆$ABM có $\widehat{ACN}+\widehat{ANC}+\widehat{CAN}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACN}=180°-\widehat{ANC}-\widehat{CAN}=180°-90°-45°=45°$.

Do đó $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có $\widehat{ANC}=90°$ và $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.