Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB)

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 3 trang 48 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+BC+CA}$;

b) $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}$ = 1.

Lời giải:

a) • Vì BI là phân giác của $\widehat{ABC}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{IA}{ID}=\frac{AB}{BD}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{IA}{AB}=\frac{ID}{BD}=\frac{IA+ID}{AB+BD}=\frac{AD}{AB+BD}$ suy ra $\frac{ID}{AD}=\frac{BD}{AB+BD}$ (1)

• Vì CI là phân giác của $\widehat{ACB}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{IA}{ID}=\frac{CA}{CD}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{IA}{CA}=\frac{DI}{CD}=\frac{IA+ID}{CA+CD}=\frac{DA}{CA+CD}$ suy ra $\frac{DI}{AD}=\frac{CD}{CA+CD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{BD}{AB+BD}=\frac{CD}{CA+CD}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{BD}{AB+BD}=\frac{CD}{CA+CD}$$=\frac{BD+CD}{AB+BD+CA+CD}$$=\frac{BC}{AB+BC+CA}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+BC+CA}$.

b) Tượng tự câu a) ta có: $\frac{EI}{EB}=\frac{CA}{AB+BC+CA}$và $\frac{FI}{FC}=\frac{AB}{AB+BC+CA}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}$ = $\frac{BC}{AB+BC+CA}$ + $\frac{CA}{AB+BC+CA}$ + $\frac{AB}{AB+BC+CA}$

= $\frac{AB+BC+CA}{AB+BC+CA}$ = 1.