Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 9.2 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Chứng minh AD < AC < AE.

Lời giải:

Do trong một tam giác cân, hai góc của đáy luôn bé hơn 90º nên suy ra $\widehat{ACB}$  là góc nhọn.

Mà $\widehat{ACE}$  kề bù với $\widehat{ACB}$  nên suy ra $\widehat{ACE}$  là góc tù.

Xét tam giác ACE có $\widehat{ACE}$  là góc tù nên cạnh đối diện với $\widehat{ACE}$  là cạnh AE là cạnh lớn nhất.

Suy ra AE > AC (*)

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Lại có:

Xét tam giác ABC có:  $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-2\widehat{ABC}$  (1)

Xét tam giác ABD có:  $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180°$

Suy ra $\widehat{BAD}=180°-\widehat{ABD}-\widehat{ADB}$  (2)

Mà D nằm giữa B và C nên suy ra $\widehat{BAD}<\widehat{BAC}$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $180°-\widehat{ABD}-\widehat{ADB}<180°-2\widehat{ABC}$

Hay $\widehat{ABC}+\widehat{ADB}>2\widehat{ABC}$

Do đó $\widehat{ADB}>\widehat{ABC}$ .

Áp dụng định lí 2 ta được AB > AD

Mà AB = AC (cmt) nên suy ra AC > AD (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra AE > AC > AD (đpcm).