Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD // BC, AD = 2BC. Gọi E, F, I

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 1 trang 127 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD // BC, AD = 2BC. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.

a) Chứng minh: (BEF) // (SCD) và CI // (BEF).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

c) Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến vừa tìm được ở câu b, từ đó chứng minh (SBF) // (KCD).

Lời giải:

a) • Xét ∆SAD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD nên EF là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra EF // SD.

Mà SD ⊂ (SCD), suy ra EF // (SCD).

Ta có F là trung điểm của AD nên AF = FD = $\frac{1}{2}$AD,

Mà AD = 2BC hay BC = $\frac{1}{2}$AD nên BC = AF = FD.

Lại có BC // AD hay BC // FD

Do đó tứ giác BFDC là hình bình hành nên BF // CD

Mà CD ⊂ (SCD)

Suy ra BF // (SCD).

Ta có: EF // (SCD);

BF // (SCD);

EF ∩ BF = F trong (BEF).

Suy ra (BEF) // (SCD).

• Xét ∆SAD có: E, I lần lượt là trung điểm của SA, SD

Suy ra EI là đường trung bình của ∆SAD, do đó EI // AD và EI = $\frac{1}{2}$AD

Mà AD // BC và BC = $\frac{1}{2}$AD

Suy ra EI // BC và EI = BC = $\frac{1}{2}$AD

Do đó tứ giác EICB là hình bình hành nên CI // BE.

Mặt khác BE ⊂ (BEF), suy ra CI // (BEF).

b) Ta có BC // AD, BC ⊂ (SBC) và AD ⊂ (SAD)

Mà S = (SBC) ∩ (SAD)

Suy ra giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng d đi qua S và d // BC // AD.

c) Do d ⊂ (SAD) và FI ⊂ (SAD) nên trong mặt phẳng (SAD), ta có d ∩ FI = K.

Xét ∆SAD có I là trung điểm của SD, F là trung điểm của AD.

Suy ra IF là đường trung bình của ∆SAD, suy ra IF // SA hay KF // SA (1)

Mặt khác, SK // AF (2).

Từ (1) và (2) suy ra SKFA là hình bình hành, do đó SK = AF.

Suy ra SK = FD (vì AF = FD).

Tứ giác SKDF có SK = FD và SK // FD, nên SKDF là hình bình hành.

Suy ra SF // KD.

Ta có SF // KD và KD ⊂ (KCD) nên SF // (KCD).

BF // DC và DC ⊂ (KCD) nên BF // (KCD).

Lại có, trong (SBF) thì SF ∩ BF = F

Suy ra (SBF) // (KCD).