Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, SO vuông góc với (ABCD)

    Lời giải Bài 28 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

    1 313 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 28 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD). Tất cả các cạnh của hình chóp bằng a.

    a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

    b) Gọi α là số đo của góc nhị diện [S, CD, A]. Tính cosα.

    c) Gọi d là giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), β là số đo của góc nhị diện [A, d, D]. Tính cosβ.

    d*) Gọi γ là số đo góc nhị diện [B, SC, D]. Tính cosγ.

    Lời giải:

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD)

    a) Ta có: SO ⊥ (ABCD) và OB ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ OB.

    Do ABCD là hình vuông nên OB ⊥ AC.

    Ta có: OB ⊥ SO, OB ⊥ AC và SO ∩ AC = O trong (SAC) nên OB ⊥ (SAC) hay O là hình chiếu vuông góc của B trên (SAC).

    Do đó góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng BSO^.

    Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên BD=AC=a2.

    Xét tam giác SDB có: SB = SD = a và SB2 + SD2 = a2 + a2 = 2a2 = BD2 nên tam giác SBD vuông cân tại S.

    Hơn nữa SO ⊥ BD (vì SO ⊥ (ABCD)).

    Nên SO là đường phân giác của BSD⇒BSO^=OSD^=90°2=45°.^

    Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng 45°.

    b) Gọi N là trung điểm của CD suy ra CN=CD2=a2.

    Ta có: tam giác SCD đều (vì SC = SD = CD = a), SN là đường trung tuyến

    Suy ra: SN ⊥ CD.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SNC vuông tại N có

    SC2 = CN2 + SN2

    Suy ra SN=SC2−CN2=a2−a22=a32.

    Xét tam giác ACD có: O, N lần lượt là trung điểm của AC và DC nên ON là đường trung bình của tam giác ACD.

    Suy ra: ON // AD và ON=12AD=a2.

    Mà AD ⊥ CD (vì ABCD là hình vuông)

    Nên ON ⊥ CD.

    Ta thấy: SN ⊥ CD, ON ⊥ CD và SN ∩ ON = N ∈ CD.

    Suy ra SNO^ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, CD, A], tức là α=SNO^.

    Vì SO ⊥ (ABCD) và ON ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ ON.

    Xét tam giác SNO vuông tại O có:

    cosSNO^=ONSN=a2a32=33⇒cosα=33.

    c) Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD), AB // CD, AB ⊂ (SAB) và CD ⊂ (SCD)

    Suy ra giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) đi qua S và song song với AB và CD.

    Gọi M là trung điểm của AB.

    Tương tự câu b) ta có SM=a32,MO=a2 và MN=MO+ON=a2+a2=a.

    Ta có: tam giác SAB đều (vì SA = SB = AB = a), SM là đường trung tuyến

    Nên SM ⊥ AB mà AB // d suy ra SM ⊥ d.

    Tương tự ta có: SN ⊥ CD mà CD // d suy ra SN ⊥ d.

    Ta thấy: SM ⊥ d, SN ⊥ d và SM ∩ SN = S ∈ d và SM, SN lần lượt nằm trong mặt phẳng nhị diện chứa đường thẳng d và điểm A, mặt phẳng nhị diện chứa đường thẳng d và điểm D.

    Suy ra MSN^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, d, D], tức là β=MSN^.

    Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SMN có:

    cosMSN^=SM2+SN2−MN22⋅SM⋅SN.

    ⇒cosβ=cosMSN^=a322+a322−a22⋅a32⋅a32=13.

    d) Gọi H là hình chiếu của B trên SC nên BH ⊥ SC.

    Ta có OB ⊥ (SAC) hay BD ⊥ (SAC).

    Mà SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC.

    Ta có: SC ⊥ BH, SC ⊥ BD và BH ∩ BD = B trong (BHD) nên SC ⊥ (BHD)

    Mặt khác HD ⊂ (BHD) nên SC ⊥ HD.

    Ta thấy: HD ⊥ SC, BH ⊥ SC và HD ∩ BH = H ∈ SC.

    Suy ra BHD^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SC, D], tức là γ=BHD^.

    Xét tam giác SBC đều cạnh a (vì SB = SC = SD = BC = CD = a) có: BH ⊥ SC.

    Nên BH là đường trung tuyến, suy ra SH=SC2=a2.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam SBH vuông tại H có:

    SB2 = BH2 + SH2

    Suy ra BH=SB2−SH2=a2−a22=a32.

    Tương tự: tam giác SCD đều và đường trung tuyến HD=a32.

    Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BHD có:

    cosγ=cosBHD^=HB2+HD2−BD22HB.HD.

    ⇒cosγ=a322+a322−a222.a32.a32=−13.

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 24 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, đường thẳng d cắt (P)...

    Bài 25 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, mặt phẳng (P) cắt a sao cho...

    Bài 26 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi I là hình chiếu của A trên đường thẳng BC...

    Bài 27 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a...

    Bài 28 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O...

    Bài 29 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là...

    Bài 30 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi α, β lần lượt là số đo...

    Bài 31 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α1, α2, α3, α4 lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD...

    Bài 32 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Một máy nước nóng sử dụng năng lượng mặt trời như ở hình 20 có các ống hấp...

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 5: Khoảng cách

    Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

    Bài tập cuối chương 8

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 313 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: