Cho Hình 32 có góc BAC = 90 độ, AH vuông góc với BC tại H, góc xAB = góc BAH, Ay là tia đối của tia Ax

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 6. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Bài 40 trang 81 SBT Toán 7 Tập 2: Cho Hình 32 có $\widehat{BAC}=90°$, AH vuông góc với BC tại H, $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$, Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của góc Hay;

b) BD + CE = BC;

c) DH vuông góc với HE.

 

Lời giải

 

a) • Ta có $\widehat{xAy}=\widehat{xAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAy}$ 

Hay $180°=\widehat{xAB}+90°+\widehat{CAy}$

Suy ra $\widehat{CAy}=90°-\widehat{xAB}$

• Ta có $\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\widehat{BAC}=90°$  

Nên $\widehat{CAH}=90°-\widehat{BAH}$

Mà $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$ (giả thiết)

Suy ra $\widehat{CAH}=\widehat{CAy}$

Do đó AC là tia phân giác của $\widehat{HAy}$

Vậy AC là tia phân giác của $\widehat{HAy}$.

b) • Xét $∆$ABD và $∆$ABH có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AHB}\left(=90°\right)$,

AB là cạnh chung,

$\widehat{DAB}=\widehat{HAB}$ (giả thiết),

Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).

• Xét $∆$ACE và $∆$DACH có:

$\widehat{AEC}=\widehat{AHC}\left(=90°\right)$,

AC là cạnh chung,

$\widehat{CAH}=\widehat{CAE}$ (chứng minh câu a),

Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).

• Ta có BC = BH + CH

Mà BD = BH, CE = CH.

Do đó BC = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.

• Xét ∆ADI và ∆AHI có:

AD = AH (chứng minh câu b),

$\widehat{DAI}=\widehat{HAI}$ (do $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$),

AI là cạnh chung.

Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ADI}=\widehat{AHI}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ADH}=\widehat{AHD}$.

• Xét ∆AHK và ∆AEK có:

AH = AE (chứng minh câu b),

$\widehat{HAK}=\widehat{EAK}$ (do $\widehat{HAC}=\widehat{EAC}$),

AK là cạnh chung

Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AHK}=\widehat{AEK}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$.

Xét $∆$ADH có: $\widehat{ADH}+\widehat{AHD}+\widehat{HAD}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\widehat{ADH}=\widehat{AHD}$ nên $\widehat{AHD}=\frac{180°-\widehat{HAD}}{2}$

Xét $∆$AEH có: $\widehat{AEH}+\widehat{AHE}+\widehat{HAE}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$ nên $\widehat{AHE}=\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}$

Ta có

$\widehat{DHE}=\widehat{AHD}+\widehat{AHE}=\frac{180°-\widehat{HAD}}{2}+\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}$

         $=\frac{360°-\left(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}\right)}{2}=\frac{360°-180°}{2}=90°$

Suy ra DH ⊥ HE.

Vậy DH ⊥ HE.