Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 6. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Bài 39 trang 81 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M, BN vuông góc với AC tại N. Chứng minh AM = AN.

Lời giải

 

Xét $∆$ABD và $∆$ACD có:

AB = AC (giả thiết),

BD = CD (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ hay $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$.

Xét $∆$BMC và $∆$CNB có:

$\widehat{BMC}=\widehat{CNB}\left(=90°\right)$,

BC là cạnh chung,

$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (chứng minh trên),

Do đó $∆$BMC và $∆$CNB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Ta có AB = AM + MB, AC = AN + NC.

Mà AB = AC, BM = CN.

Suy ra AM = AN.

Vậy AM = AN.