Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 6. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Bài 42* trang 81 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90°$, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.

Lời giải

 

Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, d cắt AM tại N.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{BCN}$ (hai góc so le trong).

Ta có BA ⊥ AC, d // AB.

Suy ra d ⊥ AC hay $\widehat{NCA}=90°$.

Xét $∆$MBA và $∆$MCN có:

 BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

${\widehat{M}}_1={\widehat{M}}_2$ (hai góc đối đỉnh),

$\widehat{ABC}=\widehat{NCB}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆MBA = ∆MCN (g.c.g).

Suy ra AB = CN và AM = NM (các cặp cạnh tương ứng).

Xét $∆$BAC và $∆$NCA có:

AC là cạnh chung,

$\widehat{BAC}=\widehat{NCA}$ (cùng bằng 90),

AB = NC (chứng minh trên)

Do đó ∆BAC = ∆NCA (c.g.c)

Suy ra BC = NA (hai cạnh tương ứng).

Mà AM = MN, AN = AM + MN = 2AM.

Nên BC = AN = 2AM.

Vậy 2AM = BC.