Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 89 trang 94, 95 SBT Toán 7 Tập 2: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng ME, Oy là đường trung trực của đoạn thẳng MF (Hình 55).

 

Chứng minh:

a) O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

b) Nếu $\widehat{xOy}=30°$ thì $\widehat{EOF}=60°$.

Lời giải

a) Trong tam giác EMF có O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác FEM.

b)

 

Gọi H là trung điểm của EM.

Xét ∆OEH và ∆OMH có:

$\widehat{OHE}=\widehat{OHM}\left(=90°\right)$,

OH là cạnh chung,

EH = MH (do H là trung điểm của EM).

Do đó ∆OEH = ∆OMH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{EOH}}=\widehat{MOH}$ (hai góc tương ứng).

Do đó Ox là tia phân giác của góc EOM nên $\widehat{\text{EOx}}=\widehat{xOM}=\frac{1}{2}\widehat{\text{EOM}}$

Hay $\widehat{EOM}=2\widehat{xOM}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có: $\widehat{\text{FOy}}=\widehat{MOy}=\frac{1}{2}\widehat{\text{MOF}}$

Hay $\widehat{MOF}=2\widehat{MOy}$.

Ta có $\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{MOF}=2\widehat{xOM}+2\widehat{MOy}$

                  $=2\left(\widehat{xOM}+\widehat{MOy}\right)=2\widehat{xOy}=2.30°=60°$

Vậy nếu $\widehat{xOy}=30°$ thì $\widehat{EOF}=60°$.