Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C

    Lời giải Bài 87 trang 94 SBT Toán 7 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 7.

    1 790 01/01/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

    Bài 87 trang 94 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

    Lời giải

    Sách bài tập Toán 7 Bài 12 (Cánh diều): Tính chất ba đường trung trực của tam giác  (ảnh 1) 

    Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

    Khi đó IM = IN = IP.

    +) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

    • Xét ∆AIP và ∆AIN có:

    API^=AQI^  (cùng bằng 90°),

    AI là cạnh chung,

    IP = IN (chứng minh trên)

    Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

    Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và PAI^=NAI^ (hai góc tương ứng).

    Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.

    Mà BAC^=60° (do tam giác ABC đều).

    Nên PAI^=NAI^=30°.

    Xét tam giác API vuông tại P có: PAI^+PIA^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

    Suy ra PIA^=90°−PAI^=90°−30°=60°

    Chứng minh tương tự ta có: PIB^=60°.

    Xét ∆PIA và ∆PIB có:

    API^=BPI^=90° ,

    PI là cạnh chung,

    PIA^=PIB^  (cùng bằng 60°)

    Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

    Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)

    • Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.

    Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

    +) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

    • Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)

    Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).

    Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.

    Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.

    CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.

    Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.

    Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.

    • Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

    Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.

    Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.

    Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

    Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

    Bài 85 trang 94 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác đều chung đáy ABC và BCD. Gọi I là trung điểm của BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai...

    Bài 86 trang 94 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A. Đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính số đo các góc của tam giác ABC...

    Bài 87 trang 94 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC...

    Bài 88 trang 94 SBT Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền...

    Bài 89 trang 94, 95 SBT Toán 7 Tập 2: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng ME...

    Bài 90 trang 95 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A có BAC^=120°. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56)...

    Bài 91* trang 95 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE)...

    Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

    Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

    Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

    Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

    Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác

    Bài tập cuối chương 7

    Tham khảo các loạt bài Toán 7 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 790 01/01/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: