TOP 40 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12

Đáp án: B

Giải thích:

Đạo hàm

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-4X-4$$\to f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\in \left[1;3\right]\\ x=-\frac{2}{3}\notin \left[1;3\right]\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}f\left(1\right)=-4\\ f\left(2\right)=-7\\ f\left(3\right)=-2\end{array}\\ \end{array}\right.$

$\to \underset{\left[1:3\right]}{max} f\left(x\right)=-2$

Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm $f\left(X\right)=X^3-2X^2-4X+1$ với thiết lập Start 1, End 3 Step 0.2.

Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy giá trị lớn nhất F ( X ) bằng - 2 khi X = 3

Đáp án: D

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=6x^2+6x$$\to f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\in \left[-2;-\frac{1}{2}\right]\\ x=0\notin \left[-2;-\frac{1}{2}\right]\end{array}\right..$

Ta có $\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}f(-2)=-5\\ f(-1)=0\\ f(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\end{array}\\ \end{array}\right.\end{array}$

$\left\{\begin{array}{l}m=\underset{\left[-2;\frac{1}{2}\right]}{min} f\left(x\right)=-5\\ M=\underset{\left[-2;\frac{1}{2}\right]}{max} f\left(x\right)=0\end{array}\right.$

$P= M-m=5$

Đáp án: C

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x-9$

$\to f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\notin \left[0;4\right]\\ x=3\in \left[0;4\right]\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{c}f\left(0\right)=28\\ f\left(3\right)=1\\ f\left(4\right)=8\end{array}\right.$

$\to \underset{\left[0;4\right]}{min} f\left(x\right)=1$khi x = 3 = $x_0$

$\to P=2021$

Đáp án: B

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=-4x^2-4x-1$

$=-{(2x-1)}^2\le 0\forall x\in R$

Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn $\left[-1 , 1\right]$ nên có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1.

Đáp án: A

Giải thích:

Đạo hàm

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$

$\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x=-1\notin [2;4]\\ x=3\in [2;4]\end{array}$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=7\\ f\left(3\right)=6\\ f\left(4\right)=\frac{19}{3}\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\underset{[2;4]}{\min }f\left(x\right)=6.$

Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.

Bước 2: Nhập $f\left(X\right)=\frac{X^2+3}{X-1}.$

Sau đó ấn phím = (nếu có g(X) thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập $\left\{\begin{array}{l}\text{Start}=2\\ \text{End}=4\\ \text{Step}=0.2\end{array}\right..$

(Chú ý: Thường ta chọn $\text{Step}=\frac{\text{End}-\text{Start}}{10}$)

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy $\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)=6.$

Đáp án: C

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=2x-\frac{2}{x^2}$

$=\frac{2(x^3-1)}{x^2}>0,\forall x\in (3;5)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\left[3;5\right]$ nên

$\underset{\left[3;5\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)=\frac{29}{3};$

$\underset{[3;5]}{\max }f\left(x\right)=f\left(5\right)=\frac{127}{5}$

Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $\left[\frac{29}{3};\frac{127}{5}\right].$

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $0\in \left[-1;2\right]$ và $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=+\infty \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=-\infty \end{array}\right.$

nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận thấy hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1\in \left[-2;2\right].$

Lại có $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x+1}=-\infty ;$

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+1}=+\infty$ .

Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên $\left[-2;2\right]$.

Đáp án: B

Giải thích:

TXĐ: $\text{D}=\left[2;4\right]$ .

Đạo hàm

$f\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$

$\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=3\in [2;4].$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=\sqrt{2}\\ f\left(3\right)=2\\ f\left(4\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }M=2.$

Đáp án: A

Giải thích:

TXĐ: $\text{D}=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right].$ Đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$\stackrel{}{\to }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0$

$\iff \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}=1$

$\iff \sqrt{2-x^2}=x$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 2-x^2=x^2\end{array}$

$\iff x=1\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}].$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\\ f\left(1\right)=2\\ f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }m=-\sqrt{2}.$

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $t=\cos x\left(-1\le t\le 1\right).$

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(t\right)=2t^3-\frac{9}{2}{t}^2+3t+\frac{1}{2}$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$.

Đạo hàm $g\text{'}\left(t\right)=6t^2-9t+3$

$\stackrel{}{\to }g\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\in \left[-1;1\right]\\ t=\frac{1}{2}\in \left[-1;1\right]\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}g\left(-1\right)=-9\\ g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{8}\\ g\left(1\right)=1\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\underset{[-1;1]}{\min }g\left(t\right)=g(-1)=-9$

$\to \underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right)=-9.$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+1+\sin x>0,\forall x\in ℝ$.

Suy ra hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left[0;+\infty \right)$.

Khi đó hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=-5$ .

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hàm số g(x) = - x² – 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6; 6].

Đạo hàm:

$g\text{'}\left(x\right)=-2x-4$

$\stackrel{}{\to }g\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff x=-2\in \left[-6;6\right].$

Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số $f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[-4;4\right]$.

● Nếu $x\in \left[1;2\right]$ thì $x^2-3x+2\le 0$ nên suy ra $f\left(x\right)=-x^2+2x-2$.

Đạo hàm

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=-2x+2 \\ \to f\text{'}\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

$\iff x=1\in \left[1;2\right].$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-1\\ f\left(2\right)=-2\end{array}\right..$

● Nếu $x\in \left[-4;1\right]\cup \left[2;4\right]$ thì $x^2-3x+2\ge 0$ nên suy ra $x^2-3x+2\ge 0$.

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=2x-4\to f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff x=2\in \left[-4;1\right]\cup \left[2;4\right]$ .

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(-4\right)=34\\ f\left(1\right)=-1\\ f\left(2\right)=-2\\ f\left(4\right)=2\end{array}\right.$.

So sánh hai trường hợp, ta được $\underset{\left[-4;4\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(-4\right)=34.$

Đáp án: A

Giải thích:

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy:

● $f\left(x\right)\le 2,\forall x\in ℝ$ và $f\left(0\right)=2$ nên GTLN của hàm số bằng 2

● $f\left(x\right)\ge -1,\forall x\in ℝ$ và vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$ nên không tồn tại $x_0\in ℝ$ sao cho $f\left(x_0\right)=1$, do đó hàm số không có GTNN.

Có thể giải thích cách khác: y' đổi dấu qua và tồn tại nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng .

Đáp án: A

Giải thích:

A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị.

B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng - 1 .

C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $ℝ$.

D Đúng.

Đáp án: C

Giải thích:

Từ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[-2;4\right]$ ta suy ra đồ thị hàm số $\left|f\left(x\right)\right|$ trên $\left[-2;4\right]$ như hình vẽ.

Do đó $\underset{\left[-2;4\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=3$ tại $x=-1.$

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận thấy trên đoạn $\left[-2;3\right]$ đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ $\left(3;4\right).$

$\to$giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\left[-2;3\right]$ bằng 4

Đáp án: B

Giải thích:

Nhận thấy trên đoạn $\left[-2;2\right]$

● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ $\left(-2;-5\right)$ và $\left(1;-5\right)$

$\to$giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn $\left[-2;2\right]$ bằng $-5.$

● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ $\left(-1;-1\right)$ và $\left(2;-1\right)$

$\to$giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\left[-2;2\right]$ bằng -1

Đáp án: B

Giải thích:

Xét trên $\left(0;1\right)$ ta thấy đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến. Do đó (I) đúng

Xét trên $\left(-1;2\right)$ta thấy đồ thị đi lên, rồi đi xuống, rồi đi lên. Do đó (II) sai.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cực trị. Do đó (III) đúng.

Hàm số không có giá trị lớn nhất trên $ℝ$. Do đó (IV) sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Đáp án: A

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2\sqrt{x+\frac{1}{x}}}=\frac{x^2-1}{2x^2\sqrt{x+\frac{1}{x}}}$

$\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\notin \left(0;+\infty \right)\\ x=1\in \left(0;+\infty \right)\end{array}$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f\left(1\right)=\sqrt{2}$ .

Đáp án: D

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=-3x^2-6x\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;1\right]\\ x=-2\notin \left[-1;1\right]\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=a-2\\ f\left(0\right)=a\\ f\left(1\right)=a-4\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=a-4.$

Theo bài ra: $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=0\iff a-4=0\iff a=4.$

Đáp án: D

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+m^2+1>0,\forall x\in ℝ$

Suy ra hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên $[0;2]$

$\stackrel{}{\to }\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=m^2-2.$

Theo bài ra: $\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=7\iff m^2-2=7$

$\iff m=\pm 3.$

Đáp án: D

Giải thích:

Đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1-m}{{\left(x+1\right)}^2}$

Suy ra hàm số $f\left(x\right)$ là hàm số đơn điệu trên đoạn $\left[1;2\right]$ với mọi $m\ne 1$.

Khi đó $\underset{\left[1;2\right]}{\min }y+\underset{\left[1;2\right]}{\max }y=f\left(1\right)+f\left(2\right)$

$=\frac{m+1}{2}+\frac{m+2}{3}=\frac{16}{3}$

$\iff \frac{5m}{6}=\frac{25}{6}\iff m=5$

Vậy $m=5$ là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện .

Đáp án: C

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2-m\sqrt{x}}{2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}}$

$\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\to \sqrt{x}=\frac{2}{m}$

$\iff x=\frac{4}{m^2}\in [0;4],\forall m>1.$

Lập bảng biến thiên, ta kết luận được

$\underset{x\in \left[0;4\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(\frac{4}{m^2}\right)=\sqrt{m^2+4}.$

Vậy ta cần có

$\sqrt{m^2+4}<3\iff m<\sqrt{5}$

$\stackrel{m>1}{\to }m\in \left(1;\sqrt{5}\right).$

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $a,b>0$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Diện tích của hình chữ nhật: $S=ab$ .

Chu vi hình chữ nhật: $P=2\left(a+b\right)=2a+\frac{2S}{a}.$

Khảo sát hàm $f\left(a\right)=2a+\frac{2S}{a}$ trên $\left(0;+\infty \right)$, ta được $\min f\left(a\right)=4\sqrt{S}$ khi $a=\sqrt{S}$.

Chọn B.

Cách 2. Ta có $P=2\left(a+b\right)\ge 2.2\sqrt{ab}$

$=4\sqrt{ab}=4\sqrt{S}$.

Dấu $\text{'}\text{'}=\text{'}\text{'}$ xảy ra $\iff a=b$.

Đáp án: C

Giải thích:

Hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng $12-2x\left(cm\right)$ và chiều cao $x\left(\text{cm}\right)$ với $0<x<6$.

Do đó thể tích khối hộp

$V={\left(12-2x\right)}^2.x$

$=4x^3-48x^2+144x$.

Xét hàm $f\left(x\right)=4x^3-48x^2+144x$ trên $\left(0;6\right)$, ta được $\underset{\left(0;6\right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=128$.

Vậy với $x=2\left(\text{cm}\right)$ thể tích khối hộp lớn nhất.

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $BM=x\text{km }\left(0\le x\le 7\right)$

$\stackrel{}{\to }\{\begin{array}{l}AM=\sqrt{x^2+25}\text{km}\\ MC=\left(7-x\right)\text{km}\end{array}.$

Thời gian chèo đò từ A đến M là: $t_{AM}=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}h.$

Thời gian đi bộ từ M đến C là:$t_{MC}=\frac{7-x}{6}\text{h}.$

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là

$t=t_{AM}+t_{MC}$

$=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}+\frac{7-x}{6}\text{ h.}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}+\frac{7-x}{6}$ trên $\left[0;7\right]$, ta được $\underset{\left[0;7\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\sqrt{5}\right)=\frac{14+5\sqrt{5}}{12}.$

Vậy người đó đến kho nhanh nhất khi vị trí của điểm M cách B một khoảng $x=2\sqrt{5}\approx 4,5\text{km.}$

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left(0<x<60\right)$ .

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $60-x$.

Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$

$\stackrel{}{\to }$Diện tích hình tròn:$S_1=\pi .r^2=\frac{x^{\text{2}}}{4\pi }.$

Diện tích hình vuông:$S_2={\left(\frac{60-x}{4}\right)}^2.$

Tổng diện tích hai hình:

$S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{60-x}{4}\right)}^2$

$=\frac{(4+\pi ).x^2-120\pi x+3600\pi }{16\pi }$

Đạo hàm: $S\text{'}=\frac{\left(4+\pi \right).x-60\pi }{8\pi };S\text{'}=0$

$\iff x=\frac{60\pi }{4+\pi };S\text{'}\text{'}=\frac{4+\pi }{8\pi }>0$

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

Với $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

$\stackrel{}{\to }r=\frac{30}{(4+\pi )}8a=\frac{240}{(4+\pi ).4}$

$\stackrel{}{\to }\frac{a}{r}=\frac{240}{120}=2$

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt $EB=a>0$ như hình vẽ $\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}EF=a\\ AE=6-a\end{array}\right.$.

Trong tam giác vuông $AEF$ có

$\cos \widehat{AEF}=\frac{6-a}{a}$

$\stackrel{}{\to }\cos \widehat{FEB}=\frac{a-6}{a}$ (hai góc bù nhau).

Ta có $\Delta BEG=\Delta FEG$

Trong tam giác vuông $EFG$ có

$EG=\frac{EF}{\cos \widehat{FEG}}=\sqrt{\frac{a^3}{a-3}}$

$\stackrel{}{\to }\widehat{FEG}=\widehat{BEG}=\frac{1}{2}\widehat{FEB}$

$\stackrel{\cos \widehat{FEB}=\frac{a-6}{a}}{\to }\cos \widehat{FEG}=\sqrt{\frac{a-3}{a}}.$

Xét hàm $f\left(a\right)=\frac{a^3}{a-3}$ với , ta được $\min f\left(a\right)$ đạt tại $a=\frac{9}{2}\stackrel{}{\to }EG=\frac{9\sqrt{3}}{2}.$

Đáp án: B

Giải thích:

Tập xác định: D = R. Ta có

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số f(x) là 4 đạt được khi x = 0. Chọn đáp án B.

Đáp án: B

Giải thích:

.

Đáp án: D

Giải thích:

Tập xác định: D = R \ {1}

=> không tồn tại x thỏa mãn. Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất.

Đáp án: C

Giải thích:

Vậy GTLN của hàm số trên [0; 3] là 250/27 đạt được khi x = 5/6.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có x là số căn hộ. Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 300. Chi phí bảo trì tòa nhà C(x) = 4000 - 14x + 0,04x²

Ta phải tìm 0 ≤ x_o ≤ 300 sao cho C(x_o) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có C'(x) = -14 + 0,08x, 0 ≤ x ≤ 300. C'(x) = 0 <=> x = 175

Trên đoạn [0; 300] ta có C(0) = 4000; C(175) = 2775; C(300) = 3400

Từ đó ta thấy C(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 175. Chọn đáp án B

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có x ∈ (0; 250) ,P’(x) = -16x+3200.

Khi đó P’(x)=0 ⇔ -16x + 3200 = 0 ⇔ x = 200 (loại).

P(0)= - 8000; P(250) = 292 000

Do đó lợi nhuận tối đa họ thu được là P(250)=292000.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Đặt y = f(x) = x³ - 3x² - 1

Ta đang xét trên đoạn [-2;1] nên loại x = 2

Ta có f(-2) = -21; f(0) = -1; f(1) = -3. Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2;1] là –1, tại x = 0.

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hàm số y = x³ + 3x² - 9x + 1 trên đoạn [-4;4].

Ta có:

y(1) = -4, y(-3) = 28; y(4) = 77; y(-4) = 21

GTNN của hàm số y = X³ - 9x + 1 trên đoạn [-4;4] là -4 khi x= 1

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hàm số g(x) = -x2 - 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6;6].

Đạo hàm g'(x) = -2x - 4 → g'(x) = 0 ⇔ x = -2 ∈ [-6;6]

Lại có

Ta có:

Đáp án: D

Giải thích:

Bảng biến thiên

Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.