Tổng hợp lý thuyết Chương 9 – Toán lớp 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9: Bài tập cuối Chương 9 - Cánh diều

A. Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 9

1. Đa giác. Đa giác lồi

1.1. Đa giác

Đa giác A₁A₂...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) là một hình gồm n đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, ..., A_{n – 1}A_n, A_nA₁ sao cho mỗi điểm A₁, A₂, ..., A_n là điểm chung của đúng hai đoạn thẳng và không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng. Trong đa giác A₁A₂...A_n, các điểm A₁, A₂, ..., A_n là các đỉnh, các đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, ..., A_{n – 1}A_n, A_nA₁ là các cạnh.

1.2. Đa giác lồi

– Đa giác lồi là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác đó.

Với ngũ giác lồi ABCDE ở hình vẽ trên, các góc ABC, BCD, CDE, DEA, EAB gọi là các góc của đa giác.

– Trong trường hợp tổng quát, đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 3, n ∈ ℕ) cũng là đa giác lồi có n góc. Khi n lần lượt bằng 3; 4; 5; 6; ... ta có tam giác, tứ giác lồi, ngũ giác lồi, lục giác lồi, ...

2. Đa giác đều

– Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

– Đối với mỗi đa giác đều, có đúng một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của đa giác đó. Điểm O đó được gọi là tâm của đa giác đều.

– Phần mặt phẳng giới hạn bởi đa giác đều được gọi là hình đa giác đều. Vì mỗi hình đa giác đều cũng là một phần của mặt phẳng nên hình đa giác đều còn gọi là hình phẳng đều.

3. Hình đa giác đều trong thực tiễn

Trong thế giới tự nhiên, xuất hiện nhiều vật thể có hình ảnh liên quan đến hình đa giác đều. Dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu những vật thể có hình ảnh liên quan đến hình đa giác đều trong thế giới tự nhiên, trong nghệ thuật, kiến trúc và thiết kế, công nghệ.

3.1. Hình đa giác đều trong thế giới tự nhiên

Trong tự nhiên, vật thể có hình ảnh liên quan đến hình đa giác đều rất đa dạng, phong phú, chẳng hạn: bông hoa (hình a), con sao biển (hình b) có hình ảnh liên quan đến ngũ giác đều; tổ ong (Hình c) có hình ảnh liên quan đến lục giác đều; ...

3.2. Hình đa giác đều trong nghệ thuật, kiến trúc

Ngay từ xa xưa, con người trong quá trình chinh phục thế giới tự nhiên luôn khao khát tạo dựng được những công trình hài hòa và bền vững. Để làm được điều đó, họ đã nghiên cứu, phân tích cấu trúc của những hình khối cân đối nhất.

Một trong các nguyên tắc quan trọng nhất với nghệ thuật, hay kiến trúc là nguyên tắc cân bằng. Theo đó, các thiết kế về kiến trúc, đồ họa hay một tác phẩm nghệ thuật cần thực hiện tốt về cân bằng. Vì thế, bố cục kiểu đối xứng, cân bằng thường được sử dụng trong các tác phẩm nghệ thuật hay kiến trúc. Chẳng hạn, các vật thể có dạng như ở hình d, e, g được trang trí bởi hình tam giác đều, hình tứ giác đều, lục giác đều.

Trong thiết kế hay kiến trúc ta cũng thấy hình phẳng đều hiển hiện rất đa dạng, phong phú, chẳng hạn: Palmanova là một thị trấn thuộc Italia, được UNESCO công nhận là một di sản thế giới, điểm độc đáo nhất ở đây chính là kiến trúc của thị trấn gợi nên hình ảnh đa giác đều 18 cạnh (hình h). Toàn bộ thị trấn như một tổ hợp các pháo đài có kiến trúc cổ kính ở bên trong kết hợp với tổng thể tạo nên vẻ đẹp kì diệu.

3.3. Hình đa giác đều trong thiết kế, công nghệ

Trong thiết kế, công nghệ, chúng ta cũng dễ dàng nhận ra các vật thể mà cấu trúc của chúng có dạng hình phẳng đều. Các công trình hay máy móc muốn tồn tại, ổn định, bền vững và có được vẻ đẹp thì phải chú trọng đến tính cân xứng, đều đặn. Theo đó, hình phẳng đều thường được sử dụng, chẳng hạn: các viên gạch lát nền (Hình i) có dạng hình vuông; bề mặt của ốc và đai ốc (Hình k) có dạng lục giác đều; chiếc đĩa (Hình m) có dạng hình đa giác đều tám cạnh; ...

4. Khái niệm phép quay

Cho điểm O cố định và số thực α.

– Phép quay thuận chiều α° (0° < α° < 360°) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M (khác điểm O) thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MnM’ có số đo α° (Hình a).

– Phép quay ngược chiều α° (0° < α° < 360°) tâm O được phát biểu tương tự (Hình b).

Chú ý: Phép quay 0° và phép quay 360° giữ nguyên mọi điểm.

5. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

– Cho hình đa giác đều A₁A₂...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) có tâm O. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều A₁A₂...A_n là phép quay tâm O biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó.

– Các phép quay giữ nguyên hình đa giác đều A₁A₂...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) với tâm O là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị

${\alpha }_1^o=\frac{360°}{n};{\alpha }_2^o=\frac{2\cdot 360°}{n};\mathrm{...};{\alpha }_n^o=\frac{n\cdot 360°}{n}=360°.$

B. Bài tập ôn tập Chương 9

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Đa giác GHIJKLM là một hình gồm bao nhiêu đoạn thẳng?

A. 5;

B. 8;

C. 6;

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đa giác GHIJKLM là một hình gồm 7 đoạn thẳng GH, HI, IJ, JK, KL, LM, MG.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?

A. Đa giác lồi là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác đó;

B. Số cạnh và số góc của đa giác lồi luôn bằng nhau;

C. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các phương án A, B, C đều đúng. Vậy ta chọn phương án D.

Bài 3. Trong các hình sau, hình nào không phải là đa giác đều?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hình 1 là hình chữ nhật có chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng. Do đó Hình 1 không phải là đa giác đều.

Hình 2 là ngũ giác đều.

Hình 3 là bát giác đều.

Hình 4 là tứ giác đều (hình vuông).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều A₁A₂A₃...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) là

A. Phép quay có tâm là một đỉnh bất kì của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó;

B. Phép quay có tâm là tâm của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành tâm của hình đa giác đều đó;

C. Phép quay có tâm là tâm của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó;

D. Phép quay có tâm là một đỉnh bất kì của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành tâm của hình đa giác đều đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả sử hình đa giác đều A₁A₂...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) có tâm O.

Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều A₁A₂...A_n là phép quay tâm O biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó.

Do đó Vậy phép quay giữ nguyên hình đa giác đều A₁A₂A₃...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) là phép quay có tâm là tâm của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 5. Cho bát giác đều ABCDEFGH có tâm O. Phép quay thuận chiều 135° tâm O biến điểm D của bát giác đều ABCDEFGH thành điểm nào?

A. G;

B. A;

C. E;

D. H.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử ABCDEGHK là bát giác đều có tâm O.

Do đó AB = BC = CD = DE = EG = GH = HK và OA = OB = OC = OD = OE = OG = OH = OK.

Xét ∆OAB và ∆OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC

Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).

Tương tự, ta sẽ chứng minh được:

∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOG = ∆GOH = ∆HOK = ∆KOA.

Suy ra các góc tương ứng bằng nhau:

$\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOG}=\widehat{GOH}=\widehat{HOK}=\widehat{KOA}.$

Ta có: $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOG}+\widehat{GOH}+\widehat{HOK}+\widehat{KOA}=360°$

Suy ra $8\widehat{AOB}=360°,$ nên $\widehat{AOB}=45°.$

Do đó, $\widehat{DOE}=\widehat{EOG}=\widehat{GOH}=45°.$

Như vậy, ta sẽ có $\widehat{DOG}=\widehat{DOE}+\widehat{EOF}+\widehat{FOG}=45°+45°+45°=135°.$

Vậy quay thuận chiều 135° tâm O biến điểm D của bát giác đều ABCDEFGH thành điểm G.

Do đó ta chọn phương án A.

Bài 6. Cho ngũ giác đều MNPQR có tâm O. Phép quay nào với tâm O biến ngũ giác đều MNPQR thành chính nó?

A. 60°;

B. 72°;

C. 90°;

D. 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các phép quay giữ nguyên ngũ giác đều MNPQR là:

⦁ Năm phép quay thuận chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị:

${\alpha }_1^o=\frac{360°}{5}=72°;{\alpha }_2^o=\frac{2\cdot 360°}{5}=144°;{\alpha }_3^o=\frac{3\cdot 360°}{5}=216°;$

${\alpha }_4^o=\frac{4\cdot 360°}{5}=288°;{\alpha }_5^o=\frac{5\cdot 360°}{5}=360°.$

⦁ Ba phép quay ngược chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị:

${\alpha }_1^o=\frac{360°}{5}=72°;{\alpha }_2^o=\frac{2\cdot 360°}{5}=144°;{\alpha }_3^o=\frac{3\cdot 360°}{5}=216°;$

${\alpha }_4^o=\frac{4\cdot 360°}{5}=288°;{\alpha }_5^o=\frac{5\cdot 360°}{5}=360°.$

Do đó ta chọn phương án B.

II. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BD. Chứng minh rằng:

a) N là trung điểm OC.

b) ∆AFM = ∆AON.

c) Tam giác AMN đều.

Hướng dẫn giải

a) Tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng tổng các góc trong hai tứ giác ABCD và AFED.

Suy ra tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng 2.360° = 720°.

Do tất cả các góc của lục giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của lục giác đều bằng $\frac{720°}{6}=120°$hay $\widehat{AFM}=\widehat{BCD}=120°.$

Vì CB = CD (chứng minh trên) nên tam giác BCD cân tại C.Do đó CO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác BCD.

Vì vậy $\widehat{OCB}=\frac{\widehat{BCD}}{2}=\frac{120°}{2}=60°.$

Ta có OB = OC (vì O là tâm của lục giác đều ABCDEF).

Suy ra tam giác OBC cân tại O.

Mà $\widehat{OCB}=60°$ (chứng minh trên).Do đó tam giác OBC đều.

Chứng minh tương tự cho các tam giác OCD, OAB, OAF, ODE, OEF, ta được ∆OCD, ∆OAB, ∆OAF, ∆ODE, ∆OEF là các tam giác đều.

Ta có tam giác OBC đều nên OB = BC = OC, mà OB = OC = OD và BC = CD nên OB = BC = CD = OD. Suy ra tứ giác OBCD là hình thoi.

Do đó hai đường chéo OC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm N của mỗi đường.

Vậy N là trung điểm OC.

b) Ta có $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=60°$(vì các tam giác OAB, OBC đều).

Suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=60°+60°=120°.$

Ta có EF = OC (cùng bằng OF) và M, N lần lượt là trung điểm EF, OC nên FM = ON.

Xét ∆AFM và ∆AON, có:

$\widehat{AFM}=\widehat{AON}=120°;$

AF = AO (tam giác OAF đều);

FM = ON (chứng minh trên).

Do đó ∆AFM = ∆AON (c.g.c).

c) Từ kết quả câu b), ta được AM = AN và $\widehat{FAM}=\widehat{OAN}.$

Suy ra ∆AMN cân tại A.

Ta có $\widehat{FAO}=60°$(do ∆OAF đều).

Suy ra $\widehat{FAM}+\widehat{MAO}=60°$nên $\widehat{OAN}+\widehat{MAO}=60°$ hay $\widehat{MAN}=60°.$

Xét ∆AMN cân tại A có $\widehat{MAN}=60°$ nên ∆AMN đều.

Bài 2. Cho một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ). Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi ADBEFG là lục giác đều và ADCMN là ngũ giác đều.

Vì lục giác đều ADBEFG và ngũ giác đều ADCMN có chung cạnh AD nên tất cả các cạnh của lục giác đều ADBEFG và ngũ giác đều ADCMN đều bằng nhau.

– Tổng 6 góc của lục giác đều ADBEFG bằng tổng các góc trong bốn tam giác ABD, BEF, AFG, ABF.

Suy ra tổng 6 góc của lục giác đều ADBEFG bằng 4.180° = 720°.

Do tất cả các góc của lục giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của lục giác đều bằng $\frac{720°}{6}=120°$hay $\widehat{ADB}=120°.$

Vì AD = BD (ADBEFG là lục giác đều) nên tam giác ABD cân tại D.

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}.$

Tam giác ABD, có: $\widehat{ADB}+\widehat{BAD}+\widehat{ABD}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $2\widehat{ABD}=180°-\widehat{ADB}=180°-120°=60°.$

Do đó $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}=30°.$

–Tổng 5 góc của ngũ giác đều ADCMN bằng tổng các góc trong ba tam giác ACD, ACN, CMN.

Suy ra tổng 5 góc của ngũ giác đều ADCMN bằng 3.180° = 540°.

Do tất cả các góc của ngũ giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của ngũ giác đều bằng $\frac{540°}{5}=108°$hay $\widehat{ADC}=108°.$

Vì AD = CD (ADCMN là ngũ giác đều) nên tam giác ACD cân tại D.

Suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}.$

Tam giác ACD, có: $\widehat{ADC}+\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=180°$(tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $2\widehat{DCA}=180°-\widehat{ADC}=180°-108°=72°.$

Do đó $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=36°.$

– Ta có $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}+\widehat{BDC}=360°.$

Suy ra $\widehat{BDC}=360°-\left(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}\right)=360°-\left(120°+108°\right)=132°.$

Ta có BD = CD (= AD) nên tam giác BCD cân tại D.Do đó $\widehat{DBC}=\widehat{DCB}.$

Tam giác BCD, có: $\widehat{BDC}+\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $2\widehat{DCB}=180°-\widehat{BDC}=180°-132°=48°.$

Do đó $\widehat{DBC}=\widehat{DCB}=24°.$

– Tam giác ABC, có:

⦁ $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=30°+36°=66°;$

⦁ $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=30°+24°=54°;$

⦁ $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=36°+24°=60°.$

Vậy $\widehat{BAC}=66°;\widehat{ABC}=54°;\widehat{ACB}=60°.$

Bài 3. Tìm một số hình ảnh trong tự nhiên, trong nghệ thuật, trang trí, thiết kế, công nghệ,... những vật thể mà cấu trúc của nó có dạng hình đa giác đều.

Hướng dẫn giải

Trong tự nhiên, trong nghệ thuật, trang trí, thiết kế, công nghệ,... có rất nhiều vật thể mà cấu trúc của nó có dạng hình đa giác đều.

⦁ Trong tự nhiên:

⦁ Trong nghệ thuật, trang trí:

⦁ Trong thiết kế, công nghệ:

⦁ Các vật dụng trong đời sống:

Bài 4. Cho hình đa giác đều có 9 cạnh A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉ tâm I.

a) Phép quay thuận chiều 40° tâm I biến các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, A₈, A₉ thành các điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên đa giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉ không?

b) Chỉ ra các phép quay giữ nguyên đa giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉.

Hướng dẫn giải

a) Do A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉ là đa giác đều nên A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅ = A₅A₆ = A₆A₇ = A₇A₈ = A₈A₉ và OA₁ = OA₂ = OA₃ = OA₄ = OA₅ = OA₆ = OA₇ = OA₈ = OA₉.

Xét ∆OA₁A₂ và ∆OA₂A₃ có:

OA₁ = OA₂, OA₂ = OA₃, A₁A₂ = A₂A₃

Do đó ∆OA₁A₂= ∆OA₂A₃ (c.c.c).

Tương tự, ta sẽ chứng minh được:

∆OA₁A₂= ∆OA₂A₃ = ∆OA₃A₄ = ∆OA₄A₅ = ∆OA₅A₆ = ∆OA₆A₇ = ∆OA₇A₈ = ∆OA₈A₉ = ∆OA₉A₁.

Suy ra các góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{A_{1}O{A}_2}=\widehat{A_{2}O{A}_3}=\widehat{A_{3}O{A}_4}=\widehat{A_{4}O{A}_5}=\widehat{A_{5}O{A}_6}=\widehat{A_{6}O{A}_7}=\widehat{A_{7}O{A}_8}=\widehat{A_{8}O{A}_9}=\widehat{A_{9}O{A}_1}.$

Ta có: $\widehat{A_{1}O{A}_2}+\widehat{A_{2}O{A}_3}+\widehat{A_{3}O{A}_4}+\widehat{A_{4}O{A}_5}+\widehat{A_{5}O{A}_6}+\widehat{A_{6}O{A}_7}+\widehat{A_{7}O{A}_8}+\widehat{A_{8}O{A}_9}+\widehat{A_{9}O{A}_1}=360°$

Suy ra $9\widehat{A_{1}O{A}_2}=360°,$ nên $\widehat{A_{1}O{A}_2}=40°.$

Vậy phép quay thuận chiều 40° tâm I biến các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, A₈, A₉ theo thứ tự thành các điểm A₉, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, A₈.

Vì phép quay trên biến mỗi đỉnh của đa giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉ thành một đỉnh của đa giác đều đó nên phép quay trên giữ nguyên đa giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉.

b) Có 18 phép quay giữ nguyên đa giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉ là:

⦁ Chín phép quay thuận chiều α° tâm I với α° lần lượt nhận các giá trị 40°; 80°; 120°; 160°; 200°; 240°; 280°; 320°; 360°;

⦁ Chín phép quay ngược chiều α° tâm I với α° lần lượt nhận các giá trị 40°; 80°; 120°; 160°; 200°; 240°; 280°; 320°; 360°.

Bài 5. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Phép quay ngược chiều 60° tâm O biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Hướng dẫn giải

⦁ Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°.$

Xét đường tròn (O), có $\widehat{ACB},\widehat{AOB}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}.$

Suy ra $\widehat{AOB}=2\cdot \widehat{ACB}=2\cdot 60°=120°.$

⦁ Vì phép quay ngược chiều 60° tâm O biến điểm A thành điểm D nằm trên đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OD thì điểm A tạo nên cung AD có số đo 60°.

Khi đó OA = OD và $\widehat{AOD}=60°.$ Vì vậy tam giác OAD đều.

Suy ra AD = OA = OD và $\widehat{ODA}=60°$ (1)

⦁ Mặt khác, $\widehat{AOB}=\widehat{AOD}+\widehat{BOD}$ (hai góc kề nhau).

Suy ra $\widehat{BOD}=\widehat{AOB}-\widehat{AOD}=120°-60°=60°.$

Xét ∆BOD, có: OB = OD (= OA) và $\widehat{BOD}=60°.$

Suy ra tam giác BOD đều.

Do đó BD = OB = OD và $\widehat{ODB}=60°$ (2)

Từ (1), (2), ta suy ra AD = BD và $\widehat{ADB}=\widehat{ODA}+\widehat{ODB}=60°+60°=120°.$

Tương tự như vậy, ta chứng minh được AD = DB = BE = EC = CF = FA và $\widehat{ADB}=\widehat{DBE}=\widehat{BEC}=\widehat{ECF}=\widehat{CFA}=\widehat{FAD}=120°.$

Vậy đa giác ADBECF có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng 120° nên đa giác ADBECF là lục giác đều.

Bài 6. Một vòng quay may mắn có dạng hình đa giác đều 10 cạnh như hình dưới đây.

Tìm các phép quay giữ nguyên đa giác đều đã cho.

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của đa giác đều 10 cạnh đã cho.

Vì đa giác đều đã cho có 10 cạnh nên đa giác đều đó có 10 đỉnh.

Vậy có 20 phép quay giữ nguyên đa giác đều đã cho là:

⦁ Mười phép quay thuận chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 36°; 72°; 108°; 144°; 180°; 216°; 252°; 288°; 324°; 360°;

⦁ Mười phép quay ngược chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 36°; 72°; 108°; 144°; 180°; 216°; 252°; 288°; 324°; 360°.

Trắc nghiệm: Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 9

I. Nhận biết

Câu 1. Đa giác đều trong các hình dưới đây là

A. Hình a.

B. Hình b.

C. Hình c.

D. Hình d.

Câu 2. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?

A. Đa giác lồi là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác đó.

B. Số cạnh và số góc của đa giác lồi luôn bằng nhau.

C. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 3. Đa giác GHIJKLM là một hình gồm bao nhiêu đoạn thẳng?

A. 5

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Câu 4. Phép quay với O là tâm biến tam giác đều thành chính nó là phép quay thuận chiều một góc

A. 90⁰

B. 100⁰

C. 110⁰

D. 120⁰

Câu 5. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đa giác lồi là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác đó;

B. Ngũ giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau;

C. Ngũ giác đều là đa giác có tất cả các góc bằng nhau;

D. Phép quay giữ nguyên mọi điểm là phép quay 180°.

II. Thông hiểu

Câu 6. Ngũ giác MNPQRS gồm những cạnh nào?

A. $MN,NP,MQ,NR,RS,SM.$

B. $MN,NP,PQ,QR,RS,SM.$

C. $MN,NP,MR,NQ,PS,SM.$

D. $MP,MQ,NQ,NR,NS,PR,PS,QS.$

Câu 7. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều $A_1{A}_2{A}_3\mathrm{...}{A}_n\left(n\ge \mathrm{3,}n\in \mathbb{N}\right)$ là

A. Phép quay có tâm là một đỉnh bất kì của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó.

B. Phép quay có tâm là tâm của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành tâm của hình đa giác đều đó.

C. Phép quay có tâm là tâm của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó.

D. Phép quay có tâm là một đỉnh bất kì của hình đa giác đều biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành tâm của hình đa giác đều đó.

Câu 8. Cho tam giác đều ABC, các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại H . Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của $HA,HB,HC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $DKFIEM$ là lục giác đều

B. $DKFIEM$ không là lục giác đều.

C. $\widehat{IHM}=60°$

D. 3 điểm H, D, E thẳng hàng.

Câu 9. Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến các điểm A, B, C, D thành các điểm nào?

A. Các điểm A, B, C, D

B. Các điểm B, C, D, A

C. Các điểm B, A, D, A

D. Các điểm C, D, A, B

III. Vận dụng

Câu 10. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của EF, BD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. N là trung điểm OC

B. $\Delta AFM=\Delta AON.$

C. Tam giác AMN đều.

D. Cả A, B, C đều sai.