Tổng hợp lý thuyết Chương 8 – Toán lớp 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9: Bài tập cuối Chương 8 - Cánh diều

A. Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 8

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

1.1. Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Định nghĩa: Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Chú ý: Khi đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, ta còn nói tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

1.2. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng khoảng cách từ giao điểm ba đường trung trực đến mỗi đỉnh của tam giác đó.

Nhận xét:

⦁ Vì ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm hai đường trung trực bất kì của tam giác đó.

⦁ Mỗi tam giác có đúng một đường tròn ngoại tiếp.

Chẳng hạn, ở hình vẽ dưới đây, ta có:

Ba đường trung trực ứng với mỗi cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC cắt nhau tại O.

Khi đó O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = OA = OB = OC.

– Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó.

–Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó. Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

2.1. Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác

– Định nghĩa: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Chú ý: Khi đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, ta còn nói tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).

2.2. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

– Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh của tam giác đó.

Nhận xét:

⦁ Vì ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm nên tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm hai đường phân giác bất kì của tam giác đó.

⦁ Mỗi tam giác có đúng một đường tròn nội tiếp.

Chẳng hạn, ở hình vẽ dưới đây, ta có:

Ba đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC cắt nhau tại I.

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

Khi đó I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = IM = IN = IP.

– Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn nội tiếp là $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

3. Định nghĩa và tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn

Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay còn gọi là tứ giác nội tiếp).

Chú ý:Trong hình vẽ sau, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và đường tròn (O) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng 180°.

4. Hình chữ nhật, hình vuông nội tiếp đường tròn

4.1. Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn

– Mỗi hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo và mỗi đường chéo là một đường kính của đường tròn đó.

4.2. Hình vuông nội tiếp đường tròn

– Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao điểm của hai đường chéo và mỗi đường chéo là một đường kính của đường tròn đó.

– Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

B. Bài tập ôn tập Chương 8

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Có bao nhiêu tam giác nội tiếp đường tròn (O) ở hình vẽ dưới đây.

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì đường tròn (O) đi qua các điểm B, C, M, N nên đường tròn (O) ngoại tiếp các tam giác BCM, BCN, BMN, CMN.

Ta còn nói các tam giác BCM, BCN, BMN, CMN nội tiếp đường tròn (O).

Vậy có 4 tam giác nội tiếp đường tròn (O).

Bài 2. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó;

B. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác đó;

C. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó;

D. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương án A, C, D đúng.

Phương án B sai. Sửa lại: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó.

Bài 3. Cho tam giác MNP đều cạnh bằng $\sqrt{3}$ dm. Khi đó bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP lần lượt bằng

A. 1 dm và 1 dm;

B. 0,5 dm và 0,5 dm;

C. 0,5 dm và 1 dm;

D. 1 dm và 0,5dm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP là:

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=1$ (dm).

Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP là:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}=0,5$ (dm).

Do đó ta chọn phương án D.

Bài 4. Tứ giác nội tiếp đường tròn là

A. tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

B. tứ giác có nhiều nhất bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

C. tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 90°;

D. tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 5. Cho hình vẽ bên dưới.

Giá trị của x và số đo $\widehat{ADC}$ lần lượt bằng

A. 95° và 120°;

B. 60° và 95°;

C. 30° và 60°;

D. 95° và 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra 2x + x = 180°

3x = 180°

x = 60°.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-85°=95°.$

Vậy x = 60° và $\widehat{ADC}=95°.$

Bài 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $a\sqrt{2};$

B. Mỗi đường chéo của hình chữ nhật là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó;

C. Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°;

D. Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là trung điểm của một cạnh bất kì của hình vuông đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương án A sai. Sửa lại: Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Phương án B sai. Sửa lại: Mỗi đường chéo của hình chữ nhật là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.

Phương án C đúng.

Phương án D sai. Sửa lại: Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông đó.

Vậy ta chọn phương án C.

II. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tam giác ABC (AC < BC) nội tiếp đường tròn (O; R) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại điểm I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).

a) Chứng minh rằng OI ⊥ BC.

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, cắt đường thẳng OI tại M. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (O) có AB là đường kính, suy ra $\widehat{ACB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông)

Do đó AC ⊥ BC, mà OI // AC nên OI ⊥ BC.

b) Vì MB là tiếp tuyến của (O), với B là tiếp điểm nên MB ⊥ OB tại B hay $\widehat{OBM}=90°.$

Tam giác OBC cân tại O (OB = OC = R) có OI là đường cao nên cũng đồng thời là đường phân giác của tam giác OBC. Do đó $\widehat{BOI}=\widehat{COI}.$

Xét ∆BOM và ∆COM, có:

OM là cạnh chung;

OB = OC (= R);

$\widehat{BOM}=\widehat{COM}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BOM = ∆COM (c.g.c).

Suy ra $\widehat{OCM}=\widehat{OBM}=90°.$

Khi đó OC ⊥ MC tại điểm C nằm trên đường tròn (O).

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O), với C là tiếp điểm.

Bài 2. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Biết $\hat{A}=50°;\hat{B}=80°.$

a) Tính số đo của $\widehat{BIC},\widehat{CIA},\widehat{AIB}.$

b) Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng 2AD = AB + AC – BC.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC, có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180°-\left(50°+80°\right)=50°.$

Vì đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC nên I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Khi đó ta có:

⦁$\widehat{CAI}=\widehat{BAI}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{50°}{2}=25°;$

⦁$\widehat{CBI}=\widehat{ABI}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{80°}{2}=40°;$

⦁$\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{50°}{2}=25°.$

Tam giác BIC, có: $\widehat{BIC}+\widehat{CBI}+\widehat{BCI}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{CBI}+\widehat{BCI}\right)=180°-\left(40°+25°\right)=115°.$

Tương tự, ta có: $\widehat{CIA}=130°$ và $\widehat{AIB}=115°.$

Vậy $\widehat{BIC}=115°;\widehat{CIA}=130°;\widehat{AIB}=115°.$

b) Ta có AF, AD là hai tiếp tuyến của (I) cắt nhau tại A nên AF = AD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh tương tự, ta được BD = BE và CF = CE.

Ta có: AB + AC – BC = AD + DB + AF + FC – BC

= AD + BE + AD + CE – BC

= 2AD + (BE + CE) – BC

= 2AD + BC – BC

= 2AD.

Vậy 2AD = AB + AC – BC.

Bài 3. Người ta làm một khung gỗ hình tam giác đều đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính 40 cm. Hỏi độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Hướng dẫn giải

Bán kính của chiếc đồng hồ hình tròn là: $r=\frac{40}{2}=20$ (cm).

Gọi a (cm) là độ dài cạnh (phía bên trong) của khung gỗ.

Ta có $r=\frac{a\sqrt{3}}{6},$hay $\frac{a\sqrt{3}}{6}=20,$ suy ra $a=40\sqrt{3}\approx 69,28$ (cm).

Vậy độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng khoảng 69,28 cm.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Biết rằng $\widehat{ABC}=70°;\widehat{ODC}=50°.$ Tính số đo $\widehat{AOD}.$

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-70°=110°.$

Ta có $\widehat{ADO}+\widehat{ODC}=\widehat{ADC}.$

Suy ra $\widehat{ADO}=\widehat{ADC}-\widehat{ODC}=110°-50°=60°.$

Tam giác OAD cân tại O (do OA = OD = R) có $\widehat{ADO}=60°$ nên ∆OAD là tam giác đều. Do đó $\widehat{AOD}=60°.$

Bài 5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và đường thẳng không đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm C, D (C nằm giữaA và D, đường thẳng AD không cắt đoạn thẳng OB). Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh tứ giác ABOE là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên AB ⊥ OB hay $\widehat{OBA}=90°.$

Xét ∆OCD cân tại O (do OC = OD) có OE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó OE ⊥ CD hay $\widehat{OEC}=90°.$

Khi đó, ∆OAB vuông tại B và OAE vuông tại E cùng nội tiếp đường tròn đường kính OA là cạnh huyền của hai tam giác đó.

Do đó bốn điểm O, A, B, E cùng nằm trên đường tròn đường kính OA hay tứ giác ABOE là tứ giác nội tiếp.

Bài 6. Người ta cần xây dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa hình tròn (như hình vẽ).

Tính chiều dài của đoạn thép dùng để làm khung nửa đường tròn đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Gọi ABCD là khung cổng hình chữ nhật.

Vẽ hình chữ nhật ABEF (hình vẽ) và O là giao điểm của hai đường chéo AE, BF.

Khi đó ta có AF = 2AD = 2.3 = 6 (m).

Tam giác ABF vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BF² = AF² + AB²= 6² + 4² = 52.

Do đó $BF=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (cm).

Vì vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABEF là: $R=\frac{BF}{2}=\sqrt{13}$ (cm).

Chu vi đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABEF là: $C=2\pi R=2\pi \sqrt{13}$ (cm).

Vậy chiều dài của đoạn thép dùng để làm khung nửa đường tròn là $\frac{C}{2}=\frac{2\pi \sqrt{13}}{2}\approx 11,33$ cm.

Trắc nghiệm: Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 8

I. Nhận biết

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Trọng tâm của tam giác đều vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều đó.

B. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đó.

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

D. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua nhiều nhất là ba đỉnh của tam giác đó.

Câu 2. Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn

A. Tiếp xúc tất cả các cạnh của đa giác đó.

B. Đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

C. Cắt tất cả các cạnh của đa giác đó.

D. Đi qua tâm của đa giác đó.

Câu 3. Trong các hình sau, hình nội tiếp được trong đường tròn là

A. Hình thang, hình chữ nhật.

B. Hình thang cân, hình bình hành.

C. Hình thoi, hình vuông.

D. Hình thang, hình chữ nhật, hình vuông.

Câu 4. Cho các hình vẽ sau:

Trong các hình trên, hình nào đang nội tiếp đường tròn?

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Câu 5. Tứ giác nội tiếp đường tròn là

A. tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

B. tứ giác có nhiều nhất bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

C. tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 90°;

D. tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó.

II. Thông hiểu

Câu 6. Khi tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn, và có $\widehat{M}=90°$. Khi đó, góc P bằng

A. 90⁰

B. 180⁰

C. 110⁰

D. 120⁰

Câu 7. Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn. Khi đó góc AOB bằng

A. 120⁰

B. 60⁰

C. 140⁰

D. 80⁰

Câu 8. Cho tam giác MNP đều cạnh bằng $\sqrt{3}$dm. Khi đó bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP lần lượt bằng

A. 1 dm và 1 dm

B. 0,5 dm và 0,5 dm

C. 0,5 dm và 1 dm

D. 1 dm và 0,5 dm

Câu 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn (O). Biết $\widehat{BOD}=140°$ . Số đo góc $\widehat{BCD}$ là

A. 110⁰

B. 70⁰

C. 140⁰

D. 290⁰

III. Vận dụng

Câu 10. Người ta làm một khung gỗ hình tam giác đều đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính 40cm

Độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

A. $\mathrm{69,28}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}.$

B. $\mathrm{69,18}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}.$

C. $\mathrm{60,28}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}.$

D. $\mathrm{66,28}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}.$