Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết: a) u3 = 16 và u2 + u4 = 40

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 39 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

Lời giải:

a) Ta có u₂ + u₄ = $\frac{u_3}{q}+u_{3}q=\frac{16}{q}+16q$ .

Mà u₂ + u₄ = 40 nên ⇒ 16 + 16q² = 40q

⇔ 2q² – 5q + 2 = 0  .

Lại có u₃ = u₁ q² = 16, suy ra u₁ = $\frac{16}{q^2}$ .

Với  thì $u_1=\frac{16}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=64$ .

Với q = 2 thì $u_1=\frac{16}{2^2}=4$ .

Vậy u₁ = 64, q = $\frac{1}{2}$  hoặc u₁ = 4, q = 2.

b) Ta có u₁ + u₆ = u₁ + u₁ . q⁵ = 244, suy ra u₁ . q⁵ = 244 – u₁.

Lại có u₂ . u₅ = (u₁ . q) . (u₁ . q⁴) = u₁ . (u₁ . q⁵) = u₁ . (244 – u₁) = 244u₁ – u₁².

Suy ra 244u₁ – u₁² = 243  .

Với u₁ = 1 thì q⁵ = 244 – 1 = 243 = 3⁵, suy ra q = 3.

Với u₁ = 243 thì 243q⁵ = 244 – 243 ⇔ 243q⁵ = 1 $\iff q^5=\frac{1}{243}\iff q^5={\left(\frac{1}{3}\right)}^5$ $\iff q=\frac{1}{3}$ .

Vậy u₁ = 1, q = 3 hoặc u₁ = 243, $q=\frac{1}{3}$ .

c) Ta có 

Lấy (2) chia vế theo vế cho 1, ta được q³ = 27, suy ra q = 3.

Ta có u₁ (1 + 3 + 3²) = 13 ⇔ 13u₁ = 13 ⇔ u₁ = 1.

Vậy u₁ = 1, q = 3.