Cho dãy số (u­n) biết u1 = 1, un = 1/3un-1 + 1 với n thuộc N*, n >= 2. Đặt vn = un - 3/2 với n thuộc N*

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 44 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, $u_n=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1$  với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt $v_n=u_n-\frac{3}{2}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

c) Tính tổng S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀.

Lời giải:

a) Ta có $v_1=u_1-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$

$v_n=u_n-\frac{3}{2}$$=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}{u}_{n-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(u_{n-1}-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{3}{v}_{n-1}$ với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số nhân với số hạng đầu $v_1=-\frac{1}{2}$  và công bội $q=\frac{1}{3}$ .

b) Ta có: $v_n=v_1.q^{n-1}=-\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{-1}{{2.3}^{n-1}}$ .

Từ $v_n=u_n-\frac{3}{2}$ , suy ra $u_n=v_n+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{{3.3}^{n-1}-1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{3^n-1}{{2.3}^{n-1}}$ .

c) Ta có S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀

_{$=\left(v_1+\frac{3}{2}\right)+\left(v_2+\frac{3}{2}\right)+\left(v_3+\frac{3}{2}\right)+\mathrm{...}+\left(v_{10}+\frac{3}{2}\right)$}

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₁₀) + $\frac{3}{2}.10$