Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết u5-u2=78 và u6-u3=234

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 5 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết $\left\{\begin{array}{l}{u}_5-u_2=78\\ u_6-u_3=234.\end{array}\right.$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công bội là q. Theo giả thiết, ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_5-u_2=78\\ u_6-u_3=234\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q^4-u_1\cdot q=78\\ u_1\cdot q^5-u_1\cdot q^2=234\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q\cdot \left(q^3-1\right)=78\\ u_1\cdot q^2\cdot \left(q^3-1\right)=234\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra $\frac{1}{q}=\frac{78}{234}=\frac{1}{3},$ do đó q = 3.

Với q = 3 thì u₁.3.(3³ – 1) = 78, suy ra u₁ = 1.

Vậy u₁ = 1 và q = 3.