Thầy giáo thống kê lại số lần kéo xà đơn của các học sinh nam khối 11 ở bảng sau

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 4 trang 158 SBT Toán 11 Tập 1: Thầy giáo thống kê lại số lần kéo xà đơn của các học sinh nam khối 11 ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Thầy giáo dự định chọn 25% học sinh có số lần kéo thấp nhất để bồi dưỡng thể lực thêm. Thầy giáo nên chọn học sinh có thành tích kéo xà đơn dưới bao nhiêu lần để bồi dưỡng thể lực?

Lời giải

a) Do số học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu gồm giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu n = 143.

• Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{8\cdot 35+13\cdot 54+18\cdot 32+23\cdot 17+28\cdot 5}{143}=\frac{2089}{143}$.

• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là [10,5; 15,5).

Do đó, u_m = 10,5; n_m‒1 = 35; n_m = 54; n_m+1 = 52; u_{m + 1} ‒ u_m = 15,5 ‒ 10,5 = 5.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_O=10,5+\frac{54-35}{\left(54-35\right)+\left(54-32\right)}\cdot 5=\frac{1051}{82}$.

• Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₁₄₃ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

x₁, ..., x₃₅ ∈ [5,5; 10,5); x₃₆, ..., x₈₉ ∈ [10,5; 15,5); x₉₀, ..., x₁₂₁ ∈ [15,5; 20,5);

x₁₂₂, ..., x₁₃₈ ∈ [20,5; 25,5); x₁₃₉, ..., x₁₄₃ ∈ [25,5; 30,5).

Cỡ mẫu n = 143 là số lẻ nên trung vị M_e = x₇₂. Do x₇₂ thuộc nhóm [10,5; 15,5) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_e=10,5+\frac{\frac{143}{2}-\left(35+0\right)}{54}\cdot \left(15,5-10,5\right)=\frac{1499}{108}$.

b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu x₁; x₂; x₃; ...; x₁₄₃ là x₃₆. Do x₃₆ thuộc nhóm [10,5; 15,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_1=10,5+\frac{\frac{143}{4}-\left(35+0\right)}{54}\cdot \left(15,5-10,5\right)=\frac{761}{72}\approx 10,57$.

Thầy giáo nên chọn các bạn có thành tích kéo xà dưới 11 lần để bồi dưỡng thể lực thêm.