Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần

Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần

Đề bài: Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần và quãng đường mà bi đi được trong giây thứ i là: S_i = 4i – 2 (m); i = 1; 2; ..n.

1. Tính quãng đường mà bi đi được: trong giây thứ hai; sau hai giây.

2. Chứng minh rằng quãng đường mà tổng cộng mà bi đi được sau n giây (i và n là các số tự nhiên) là L_n = 2n² (m) 

A. 2m, 4m.

B. 6m, 8m.

C. 4m, 6m.

D. 4m, 8m.

Lời giải

Đáp án đúng: B

1.

Quãng đường vật đi được trong giây thứ hai:

S₂ = (4i – 2)|_{i = 2} = 4.2 – 2 = 6 (m).

Quãng đường vật đi được trong giây đầu tiên:

S₁ = (4i – 2)|_{i = 1} = 4.1 – 2 = 2 (m).

Do đó quãng đường vật đi được sau hai giây:

L₂ = S₁ + S₂ = 2 + 6 = 8 (m).

2.

Quãng đường vật đi được sau n giây là:

L_n = S₁ + S₂ + S₃ + … + S_n

= (4.1 – 2) + (4.2 – 2) + (4.3 – 2) + …(4n – 2)

= 4(1 + 2 + 3 + … + n) – 2n

$=4\frac{n\left(n+1\right)}{2}-2n$

<=> L_n = 2n² (đpcm).

Cách khác: chứng minh bằng quy nạp

- Khi n =1 thì L₁ = 2.1² = 2 (đúng).

- Giả sử L_n = 2n² đúng khi n = k, tức là L_k = 2k².

Ta cần chứng minh L_n = 2n² đúng với n = k + 1 hay L_{k + 1} = 2(k + 1)²

Ta có: L_{k + 1} = (S₁ + … + S₂) + S_{k + 1} = 2k² + [4(k + 1) – z] = 2k² + 4k + 2

Hay L_{k + 1} = 2(k² + 2k + 1) = 2(k +1)

Vậy L_n = 2n² (đpcm).