Giáo án Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 12

Thời gian thực hiện: ..... tiết

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm. 

- Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

- Biết vận dụng qui tắc để xét tính đơn điệu của một hàm số.

- Biết vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải quyết các bài toán thực tế.      

2. Năng lực

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập, tự nhận ra được sai sót và khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp cận câu hỏi bài tập, biết đặt câu hỏi, phân tích các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc của bản thân trong học tập và trong cuộc sống. Trưởng nhóm biết quản lí nhóm của mình, biết phân công nhiệm vụ cho các thành viên và biết đôn đốc, nhắc nhở các thành viên hoàn thành công việc được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm

- Năng lực hợp tác: xác định nhiệm vụ của nhóm của bản thân, biết hợp tác với các thành viên trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ học tập.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Biết nói và viết đúng theo ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

 - Hình ảnh đồ thị hàm số và bảng biến thiên của hàm số ,

- Phiếu học tập số 1, số 2 và số 3.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu:

- Giúp HS nhớ lại khái niệm tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

- Giúp HS bước đầu thấy được mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan bài học đã biết.

Câu hỏi:

H1: Xét hàm số  $y=x^2$

a) Tính đạo hàm y'  và hoàn thành bảng dưới đây:

b) Nêu khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số?

H2: Xét hàm số  $y=\frac{1}{x}$

a) Ta có y'  và hoàn thành bảng dưới đây:

b) Nêu khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số?

H3: Quan hai bài tập trên, em hãy nhận xét về mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số?

c) Sản phẩm:

Câu trả lời của HS:

L1: Xét hàm số  $y=x^2$

a) Ta có: $y^{\text{'}}=2x$

Suy ra y>0  với mọi x>0

         y'<0  với mọi x<0

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ , hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right).$

L2: Xét hàm số $y=\frac{1}{x}$

a) Ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2}$

Suy ra y'<0  với mọi $x\ne 0.$

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$  và $\left(0;+\infty \right)$

L3:

+ Nếu y'>0  trên khoảng $\left(a;b\right)$  thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$

+ Nếu y' <0 trên khoảng $\left(a;b\right)$  thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(a;b\right)$

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu câu hỏi

*) Thực hiện:  HS suy nghĩ độc lập  

*) Báo cáo, thảo luận:  

- GV gọi lần lượt 3 HS lên bảng trình bày câu trả lời của mình, mỗi học sinh 1 bài tập.

-  Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới: Như vậy ngoài việc dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến, dựa vào ĐTHS đã học ở lớp 10, chúng ta còn có một cách khác để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Đó là dựa vào dấu của đạo hàm.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

HOẠT ĐỘNG 2.1 I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

a) Mục tiêu: Nắm được mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu, lập được bảng biến thiên của hàm số

b)Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, trả lời câu hỏi H1, H2, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ

       H1: Nhắc lại định nghĩa tính đồng biến, nghịch biến của hàm số?

       H2:Mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm (định lý).

       H3: Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:    a)$y=2x-1$         b)$y=-x^2+2x$

       H4: Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: $y=x^3$

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

HOẠT ĐỘNG 2.2 II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

a) Mục tiêu: Hình thành các bước và biết cách xét tính đơn điệu của hàm số .

b) Sản phẩm:

c) Tổ chức thực hiện

3. HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP

            Hoạt động 3.1. Rèn luyện kỹ năng giải bài tập tự luận về xét tính đơn điệu của hàm số và áp dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh các bất đẳng thức

a) Mục tiêu:

- Học sinh làm được một số dạng toán tự luận về xét tính đơn điệu của hàm số.

- Ứng dụng được tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.

b) Nội dung: Học sinh làm các bài tập tự luận sau:

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1

Bài 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) $y=4+3x-x^2$                                             b)$y=x^4-2x^2+3$

Bài 2: Tìm các khoản đơn điệu của các hàm số:

a)$y=\frac{x^2-2x}{1-x}$                 b)$y=\sqrt{x^2-x-20}$

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$  đồng biến trên khoảng $(-1;1)$ ; nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$  và $(1;+\infty )$ .

Bài 4: Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$  đồng biến trên khoảng $(0;1)$  và nghịch biến trên khoảng $(1;2)$ .

Bài 5:  Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan x   > x                                                  b)$\tan x>x+\frac{x^3}{3}\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$

c) Sản phẩm:

            - Học sinh thể hiện bài tập tự luận (Phiếu học tập số 1) trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình.

            - Dự kiến sản phẩm của các nhóm như sau:

Bài 1.

a)   $y=4+3x-x^2$    

Tập xác định : D=R ;              Đạo hàm: $y^{\text{'}}=3-2x$ ;$y\text{'}=0\iff x=\frac{3}{2}$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$

b)$y=x^4-2x^2+3$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-1;0\right),\left(1;+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right),\left(0;1\right)$

Bài 2:             

a)$D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$               $y\text{'}=\frac{-x^2+2x-2}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{-{\left(x-1\right)}^2-1}{{\left(1-x\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\ne 1$       

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right),\left(1;+\infty \right)$

b)$y=\sqrt{x^2-x-20}$             

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-4\right)$,đồng biến trên khoảng $(5;+\infty )$

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$  đồng biến trên khoảng $(-1;1)$ ; nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$  và $(1;+\infty )$ .

            Tập xác định: $D=ℝ$  ;          $y^{\text{'}}=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$    ;  $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

            Bảng biến thiên 

Bài 4: Hàm số xác định trên $D=\left[0;2\right]$        $y\text{'}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)$  và nghịch biến trên khoảng $\left(1;2\right)$

Bài 5:

a)   $\tan x>x$

Xét hàm số g( x) = tan x -  x xác định với các giá trị x $\in$$\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$

Ta có: g’( x) =  ${\tan }^{2}x\ge 0$  $\forall x\in$ $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$   và g'(x ) = 0 chỉ tại điểm  x= 0 nên hàm số g(x ) đồng biến trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$

            Do đó  $g\left(x\right)>g\left(0\right)=0$ ,$\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Vậy $\tan x>x$,$\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

b)     $\tan x>x+\frac{x^3}{3}\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$

Đặt g(x )=$\tan x-x-\frac{x^3}{3},x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$

Tacó: g’(x )= ${\tan }^{2}x-x^2=\left(\tan x-x\right)\left(\tan x+x\right)\ge 0$

Trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$

g'( x) = 0 chỉ tại điểm x = 0 nên hàm số g(x ) đồng biến trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$

Do đó: $g\left(x\right)>g\left(0\right)=0$ ,$\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Vậy $\tan x>x+\frac{x^3}{3}\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động 3.2. Rèn luyện kỹ năng giải bài tập trắc nghiệm về xét tính đơn điệu của hàm số.

a) Mục tiêu:

- Học sinh làm được một số dạng toán trắc nghiệm về xét tính đơn điệu của hàm số.

b) Nội dung: Học sinh làm các bài tập trắc nghiệm sau:

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Câu 1. (K tra định kỳ THPT Nguyễn Khuyến Lần 1_2020) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-\infty ;0)$  và $\left(2;+\infty \right)$ .                   B.$(-\infty ;1)$ và $\left(4;+\infty \right)$ .           C.$(1;4)$ .             D.$(0;2)$ .

Câu 2. (Thuận Thành 2- Bắc Ninh- lần 1) Cho hàm số $f\left(x\right)$  có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x{\left(x-3\right)}^3$,  với mọi x thuộc R. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.$\left(-1;0\right)$ .                                         B.$\left(0;3\right)$ .                     C.$\left(-2;1\right)$ .                    D.$\left(1;3\right)$ .

Câu 3. (Yên Lạc-Vĩnh Phúc-Lần 1-Năm 2019-2020) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ .                B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$.                 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$ .

Câu 4. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2m{x}^2+(m+3)x+m-5$  đồng biến trên R.

A.$m\le -\frac{3}{4}$ .                                     B.$-\frac{3}{4}\le m\le 1$ .            C.$m\ge 1$ .                      D.$-\frac{3}{4}<m<1$ .

Câu 5. (Khảo sát chất lượng cuối học kì 1) Cho hàm số $y=\frac{5x+9}{x-1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $ℝ\backslash \left\{1\right\}$ .                           B. Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;1\right)$  và $\left(1;+\infty \right)$ .         D. Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$ .

Câu 6. (Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2020) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định $ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ,  liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$ .                                B. Hàm số nghịch biến trên $\left(0;1\right)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$ .                    D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$ .

Câu 7. (Trần Phú - Quảng Ninh - Lần 2 - 2020) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình sau

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$\left(-\infty ;0\right)$ .                                      B.$\left(-2;0\right)$ .                    C.$\left(-2;+\infty \right)$ .                 D.$\left(0;2\right)$ .

Câu 8. (Yên Lạc-Vĩnh Phúc-Lần 1-Năm 2019-2020) Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$  có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$\left(1;+\infty \right)$                                         B. $\left(-1;1\right)$                       C.$\left(0;1\right)$                         D.$\left(-\infty ;-1\right)$

Câu 9. (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hàm số $y=-x^3+3x^2+1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.                   B.$\left(0;+\infty \right)$ .                   C.$\left(0;2\right)$ .                      D.$\left(-\infty ;2\right)$ .

Câu 10. [CHUYÊN SƠN LA - 2017] Hàm số $y=\sqrt{-x^2+2x}$ nghịch biến trên khoảng nào ?

A. $\left(0;1\right)$.                                          B.$\left(1;2\right)$ .                       C.$\left(1;+\infty \right)$ .                    D. $\left(-\infty ;1\right)$.

Câu 11. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=-x^4+(2m-3)x^2+m$ nghịch biến trên khoảng $\left(1;2\right)$ là $\left(-\infty ;\frac{p}{q}\right]$, trong đó phân số $\frac{p}{q}$ tối giản $q>0$ và . Hỏi tổng $p+q$ là?

A.3 .                                                 B. 5.                           C.9 .                             D7. .

Câu 12. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{x+m^2-6}{x-m}$ đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$?

A.4 .                                                B.6 .                             C.5 .                             D.3 .

Câu 13. Hàm số nào đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

A.$y=-x^4+2x^2+1$.                       B.$y=\frac{x-1}{x+1}$.                 C.$y=\sqrt{x+1}$ .               D.$y=x^3+x-2$.

Câu 14. [NB-BTN-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$?

A.$m\ge 2$.                                      B.$m\le 0$.                         C.$1\le m<2$.            D.$m\le 0;1\le m<2$.

Câu 15. Cho hàm số $y=\frac{mx+2015m+2016}{-x-m}$ với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Tính số phần tử của S.

A.2015.                                          B.2018.                       C.2016 .                       D.2017.

Câu 16. Cho $y=-\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+mx-2019$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số nghịch biến trên $\left[1;2\right]$.

A.0.                                               B.1.                             C.3 .                            D.2.

Câu 17. (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $y=f(2-x^2)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.$\left(0;1\right)$ .                                       B.$\left(-1;0\right)$ .                       C.$\left(-2;1\right)$ .                    D.$\left(1;+\infty \right)$.

Câu 18. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4+\mathrm{2018,}g\left(x\right)=2x^3-2018$ và $h\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+1}$ . Trong các hàm số đã cho,  có tất cả bao nhiêu hàm số không có khoảng nghịch biến?

A. 0.                                                 B. 3.                              C. 2.                              D. 1.

Câu 19. [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03 - 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  sao cho hàm số $y=\frac{m-\cos x}{{\sin }^{2}x}$ nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\right)$.

A.$m\le 0$.                                        B.$m\le 2$ .                     C.$m\le \frac{5}{4}$.                    D.$m\ge 1$.

c) Sản phẩm:

            - Đáp án bài tập trắc nghiệm trong phiếu học tập số 2 của học sinh:

d) Tổ chức thực hiện

4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

a)Mục tiêu: Giải quyết một số bài toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong thực tế.

b) Nội dung:  

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3

Vận dụng 1:

                 Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ (và như vậy, nếu giảm thời gian làm việc 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có thêm 1 công nhân đi làm đồng thời năng suất lao động tăng 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ). Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là $P\left(x\right)=\frac{95x^2+120x}{4}$, với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

A. x=36                       B.x=32                      C.x=44                      D.x=48

Vận dụng 2:

                 Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6km/h, chạy 8km/h và quãng đường BC=8km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến .

A.$\frac{3}{2}$ .                              B.$\frac{9}{\sqrt{7}}$ .                         C.$\frac{\sqrt{73}}{6}$ .                       D. $1+\frac{\sqrt{7}}{8}$.

c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 02 nhóm học sinh

d) Tổ chức thực hiện

·         Hướng dẫn làm bài trắc nghiệm trong phiếu học tập số 2 và 3:

Câu 1.      Chọn D

Từ đồ thị suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng: $(0;2)$.

Câu 2.      Chọn A

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x{\left(x-3\right)}^3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.$.

Ta có BBT:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left(-1;0\right)$.

Câu 3.      Chọn B

Từ bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy $y^{\text{'}}<0$, $\forall x\in \left(0;2\right)$

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

Câu 4.      Chọn B

Tập xác định  D=R.

$y^{\text{'}}=x^2-4mx+m+3$.

Hàm số đã cho đồng biến trên R$\iff {\Delta }^{\text{'}}=4m^2-m-3\le 0$ $\iff -\frac{3}{4}\le m\le 1$ .

Câu 5.      Chọn C

TXĐ $ℝ\backslash \left\{1\right\}$

Ta có $y\text{'}=-\frac{14}{{\left(x-1\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\ne 1$.

Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$

Câu 6.      Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên,  ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;1\right)$.

Câu 7.      Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(0;2\right)$.

Câu 8.      Chọn A

Quan sát đồ thị ta thấy :

đồ thị có chiều đi xuống trên khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$

hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$

Vậy chọn Chọn A

Câu 9.      Chọn C

Ta có: $y^{\text{'}}=-3x^2+6x$.

y'=0$\iff -3x^2+6x=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

Câu 10.    Chọn B

Tập xác định: $D=\left[0;2\right]$.

Đạo hàm: $y^{\text{'}}=\frac{-x+1}{\sqrt{-x^2+2x}}\left(0<x<2\right)$; $y^{\text{'}}=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2).

Câu 11. Chọn D

Tập xác định $D=ℝ$. Ta có $y^{\text{'}}=-4x^3+2(2m-3)x$.

Hàm số nghịch biến trên (1;2)$\iff y^{\text{'}}\le \mathrm{0,}\forall x\in (1;2)\iff m\le x^2+\frac{3}{2}=g\left(x\right),\forall x\in (1;2)$.

Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;2).$g^{\text{'}}\left(x\right)=2x=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận:$m\le \min g\left(x\right)\iff m\le \frac{5}{2}$ . Vậy $p+q=5+2=7$.

Câu 12.    Chọn A

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{m\right\}$.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-m^2-m+6}{{\left(x-m\right)}^2}$.

Hàm đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\notin \left(-\infty ;-2\right)\\ -m^2-m+6>0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -2\\ -3<m<2\end{array}\right.\iff -2\le m<2.$

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 13.    Chọn D

Ta có $y=x^3+x-2$$\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2+1>0$ $\forall x$  . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

Câu 14.    Chọn D

+) Điều kiện $\tan x\ne m$. Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ là $m\notin \left(0;1\right)$

+) $y\text{'}=\frac{2-m}{{\cos }^{2}x{(\tan x-m)}^2}$.

+) Ta thấy: $\frac{1}{{\cos }^{2}x{(\tan x-m)}^2}>0\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right);m\notin \left(0;1\right)$

+) Để hs đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$$\iff \left\{\begin{array}{l}y\text{'}>0\\ m\notin (0;1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-m+2>0\\ m\le 0;m\ge 1\end{array}\right.\iff m\le 0$  hoặc $1\le m<2$

Câu 15.    Chọn C

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-m^2+2015m+2016}{{\left(x+m\right)}^2},\forall x\ne -m$.

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y^{\text{'}}>\mathrm{0,}\forall x\ne -m$

 $\iff -m^2+2015m+2016>0$$\iff -1<m<2016$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\left\{0;1;\mathrm{...};2015\right\}$.

Vậy số phần tử của tập S là 2016.

Câu 16.    Chọn A

Ta có $y^{\text{'}}=-x^2+4x+m$.

Hàm số nghịch biến trên  $\left[1;2\right]$ $\iff y^{\text{'}}\le \mathrm{0,}\forall x\in \left[1;2\right]$

$-x^2+4x+m\le \mathrm{0,}\forall x\in \left[1;2\right]$$\iff m\le x^2-4x,\forall x\in \left[1;2\right]$$\iff m\le \underset{\left[1;2\right]}{\min }\left(x^2-4x\right)$

Xét $g\left(x\right)=x^2-4x$, $g^{\text{'}}\left(x\right)=2x-4=0\iff x=2$

Dễ thấy $m\le \min \left\{g\left(1\right),g\left(2\right)\right\}=-4$.

Vậy không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán.

Câu 17.    Chọn A

Từ đồ thị ta có hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

Xét hàm số $y=f(2-x^2)$ ta có $y^{\text{'}}=-2x{f}^{\text{'}}(2-x^2)$.

Để hàm số $y=f(2-x^2)$ đồng biến thì $-2x{f}^{\text{'}}(2-x^2)>0\iff x{f}^{\text{'}}(2-x^2)<0$. Ta có các trường hợp sau:

TH1:$\left\{\begin{array}{l}x>0\\ f^{\text{'}}\left(2-x^2\right)<0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 0<2-x^2<2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<\sqrt{2}\end{array}\right.$ $\iff 0<x<\sqrt{2}$ .

TH2: $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ f^{\text{'}}\left(2-x^2\right)>0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x<0\\ \left[\begin{array}{l}2-x^2>2\\ 2-x^2<0\end{array}\right.\end{array}\right.$$\iff x<\sqrt{2}$ .

Vậy hàm số $y=f(2-x^2)$ đồng biến trên các mỗi khoảng $\left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)$ và $\left(0;\sqrt{2}\right)$.

Câu 18.    ChọnA

$f\text{'}\left(x\right)=4x^3$ nên hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến.

$g\text{'}\left(x\right)=8x^2\ge 0$ nên hàm số luôn đồng biến trên R.

$h\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{{(x+1)}^2}>0$ nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

Vậy có 2 hàm số không có khoảng nghịch biến.

Câu 19.    Chọn C

Ta có $y=\frac{m-\cos x}{{\sin }^{2}x}=\frac{m-\cos x}{1-{\cos }^{2}x}$.

Đặt $t=\cos x,t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$, xét hàm $g\left(t\right)=\frac{m-t}{1-t^2}$, $t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\right)$ khi $g^{\text{'}}\left(t\right)\le \mathrm{0,}\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$.

$\iff m\le \frac{t^2+1}{2t}$,$\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ .

Xét hàm $h\left(t\right)=\frac{t^2+1}{2t}$,$\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ .

Ta có $h^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{t^2-1}{2t^2}>0$,$\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ .

Lập bảng BBT trên$\left(0;\frac{1}{2}\right)$, ta có $m\le \frac{5}{4}$ thỏa YCBT.

·         Hướng dẫn làm bài vận dụng (Phiếu học tập số 3):

Vận dụng 1.  Chọn A

Gọi t là số giờ làm tăng thêm (hoặc giảm) mỗi tuần, $t\in \mathrm{ℝ}$

$\Rightarrow$ số công nhân bỏ việc (hoặc tăng thêm) là $\frac{t}{2}$ nên số công nhân làm việc là $100-\frac{t}{2}$ người.

Năng suất của công nhân còn $120-\frac{5t}{2}$ sản phẩm một giờ.

Số thời gian làm việc một tuần là 40+t giờ.

Để nhà máy hoạt động được thì

  .

Ta có BBT như sau

Vậy số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần lớn nhất khi x=36 (giờ).

Vận dụng 2. Chọn D

¦ Cách 1: Anh chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B

Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AC: 0,5 (giờ)

Thời gian chạy trên quãng đường : 1 (giờ)

Tổng thời gian di chuyển từ  đến  là 1,5 (giờ).

¦ Cách 2: chèo trực tiếp trên quãng đường

¦ Cách 3:

Gọi x(km) là độ dài quãng đường BD; 8-x(km) là độ dài quãng đường CD.

Bảng biến thiên

Ngày   ......   tháng   .......    năm 2021

                                                                       BCM ký duyệt

 Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác

Giáo án Cực trị của hàm số

Giáo án Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giáo án Đường tiệm cận

Giáo án Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giáo án Ôn tập chương 1