Giáo án Phương trình đường thẳng trong không gian mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Trường:…………………………….. Tổ: TOÁN Ngày soạn: …../…../2021 Tiết:

Họ và tên giáo viên: …………………………… Ngày dạy đầu tiên:……………………………..

 

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - HH: 12

Thời gian thực hiện: ..... tiết

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

– Nhận biết được phương trình chính tắc, phương trình tham số, vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian.

– Thiết lập được phương trình của đường thẳng trong hệ trục toạ độ theo một trong hai cách cơ bản: qua một điểm và biết một vectơ chỉ phương, qua hai điểm.

– Xác định được điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau.

– Thiết lập được công thức tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng.

– Vận dụng được kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Năng lực

–    Năng lực giải quyết vấn đề toán học: biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

–   Năng lực tự chủ và tự học:

          + Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập;

+ Tự trả lời các câu hỏi, điền phiếu học tập;

+ Tóm tắt được nội dung kiến thức trọng tâm của bài học;

+ Tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập;

+ Tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

–   Năng lực giao tiếp và hợp tác nhóm:

          + Tiếp thu kiến thức trao đổi, học hỏi, chia sẻ ý tưởng, nội dung học tập cho bạn bè thông qua hoạt động nhóm;

          + Có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp;

–   Năng lực tự quản lý:

          + Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống;

          + Trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

–   Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

–   Năng lực tính toán: Rèn được kĩ năng tính toán chính xác.

3. Phẩm chất

–   Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

–   Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

–   Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

–   Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

–   Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1.      Giáo viên cần chuẩn bị:

–   Máy tính, máy chiếu, thước, phiếu học tập, giao nhiệm vụ về nhà cho học sinh nghiên cứu trước bài học…

–   Kế hoạch dạy học.

2. Học sinh cần chuẩn bị:

–   Bảng nhóm, hợp tác nhóm, chuẩn bị bài trước ở nhà, chuẩn bị báo cáo, SGK, …

+ Xem lại các dạng đường thẳng trong mặt phẳng( SGK HÌNH HỌC 10)

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Làm xuất hiện vấn đề học tập: đường thẳng trong không gian.

b) Nội dung: Giáo viên hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức đã học: phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

H1. Nhắc lại khái niệm vectơ chỉ phương của một đường thẳng?

H2. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi nào?

H3. Điều kiện để hai vectơ (khác vectơ – không) cùng phương là gì?

H4.  Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0$ và có vtcp$\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}\right)$. Tìm điều kiện để M thuộc vào đường thẳng$\Delta$?

c) Sản phẩm:

L1. Cho đường thẳng Δ. Ta có vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ gọi là vectơ chỉ phương (viết tắt: VTCP) của đường thẳng Δ nếu giá của nó song song hoặc trùng với Δ.

L2. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và VTCP của đường thẳng đó.

L3.  Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$(khác vectơ – không) cùng phương khi tồn tại số thực $\text{k}\ne 0:\overrightarrow{a}=\text{k}\overrightarrow{b}$

L4. Điều kiện để M thuộc vào đường thẳng Δ k.v.c.k $\overrightarrow{M_{0}M}$ cùng phương $\overrightarrow{u}$

d) Tổ chức thực hiện:

* Chuyển giao nhiệm vụ:

–   GV yêu cầu mỗi học sinh chuẩn bị thực hiện nhiệm vụ.

–   GV trình chiếu nội dung nhiệm vụ mà mỗi học sinh cần hoàn thành.

* Thực hiện nhiệm vụ:

–   Học sinh lắng nghe câu hỏi, suy nghĩ và hoàn thành nhiệm vụ được giao trong thời gian 3 phút.

* Báo cáo, thảo luận:  

–   GV gọi một vài học sinh trả lời, các học sinh còn lại nhận xét, đánh giá mức độ hoàn thành nhiệm vụ

* Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

–   GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

–   Dẫn dắt vào bài mới.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

I. Nội dung 1: Phương trình tham số của đường thẳng

a) Mục tiêu:

- Học sinh xác định được dạng phương trình tham số, phương trình chính tắc (điều kiện để phương trình chính tắc tồn tại) của đường thẳng trong không gian.

- Học sinh xác định được các yếu tố để viết được phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng và cách tham số hóa 1 điểm bất kì thuộc đường thẳng.

b) Nội dung:

Bài toán: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương. Điểm $M\left(x;y;z\right)$ bất kỳ nằm trên đường thẳng Δ khi nào?

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm $M\left(1;-2;4\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;3;-1\right)$.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(-1;0;2\right)$và $B\left(-3;2;1\right)$.

c) Sản phẩm:

Nội dung bài học

1. Định lí: Điều kiện cần và đủ để điểm $M\left(x;y;z\right)$nằm trên đường thẳng Δ đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương là tồn tại một số thực t sao cho: $\overrightarrow{M_{0}M}=t\overrightarrow{u}\iff \left\{\begin{array}{l}x-x_0=a_{1}t\\ y-y_0=a_{2}t\\ z-z_0=a_{3}t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ 2. Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ là phương trình có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ $\left(t\in ℝ\right)$ (1) Nếu $a_1;a_2;a_3\ne 0$ thì $\left(1\right)\iff \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$ (2) Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng Δ.

ĐÁP ÁN

Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm $M\left(1;-2;4\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;3;-1\right)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+3t\\ z=4-t\end{array}\right.,\left(t\in ℝ\right)$

Ví dụ 2: Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(-1;0;2\right)$ và $B\left(-3;2;1\right)$có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(-2;2;-1\right)$. Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=2t\\ z=2-t\end{array}\right.,\left(t\in ℝ\right)$

d) Tổ chức thực hiện

* Chuyển giao nhiệm vụ:

–   Đối với giáo viên: yêu cầu mỗi cặp học sinh chuẩn bị thực hiện nhiệm vụ: tìm điều kiện cần và đủ để một điểm $M\left(x;y;z\right)$thuộc đường thẳng đi qua một điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương.

–   Đối với học sinh: vẽ hình và xác định:

+ Tọa độ vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$

+ Điều kiện để $\overrightarrow{M_{0}M}$và  cùng phương

+ Biểu thức tọa độ của hai vec tơ bằng nhau

* Thực hiện nhiệm vụ:

–   Học sinh lắng nghe câu hỏi, suy nghĩ, định hướng câu trả lời.

–   Học sinh thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ được giao.

* Báo cáo, thảo luận:  

–   GV gọi một vài học sinh trả lời, các học sinh còn lại nhận xét, đánh giá mức độ hoàn thành nhiệm vụ:

+ Nêu được điều kiện để điểm M thuộc đường thẳng Δ: $\overrightarrow{M_{o}M}=t\overrightarrow{u}$ từ đó  rút ra được dạng phương trình tham số của đường thẳng trong không gian.

+ Để viết được phương trình tham số của đường thẳng cần xác định 2 yếu tố: tọa độ điểm đường thẳng đi qua và vec tơ chỉ phương của nó.

+ Cách xác định tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng: hệ số trước tham số t.

+ Cách xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng cho trước hay không?

          + Thế tọa độ điểm vào x, y, z của phương trình nếu giải ra cho cùng một giá trị của tham số t thì điểm đó thuộc đường thẳng, nếu giải ra các giá trị của tham số t khác nhau thì điểm không thuộc đường thẳng.

* Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

–   GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

–   Giáo viên động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

–   Dạng phương trình tham số của đường thẳng, phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian : $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$ với điều kiện $a_1,a_2,a_3$ đều khác 0.

II. Nội dung 2: Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau:

a) Mục tiêu:

–   Học sinh xác định được mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, điểm với đường thẳng trong các trường hợp song song, cắt nhau, trùng nhau, chéo nhau.

–   Học sinh xác định được điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau.

b) Nội dung:

Quan sát hình vẽ:

H1: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong các trường hợp

H2: Nêu nhận xét về phương của hai vectơ chỉ phương, số điểm chung của hai đường thẳng, trong mỗi trường hợp cụ thể

Bài toán: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.\text{ ,\hspace{0.17em}t}\in ℝ$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a_1;a_2;a_3)$ và $M\left(x_0;y_0;z_0\right)\in d$ 

$d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=x_0^{\text{'}}+a_1^{\text{'}}t\text{'}\\ y=y_0^{\text{'}}+a_2^{\text{'}}t\text{'}\\ z=z_0^{\text{'}}+a_3^{\text{'}}t\text{'}\end{array}\right.,t^{\text{'}}\in ℝ$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u\text{'}}=(a_1^{\text{'}};a_2^{\text{'}};a_3^{\text{'}})$

Xác định điều kiện để hai đường thẳng d và d’ song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+15t\\ y=-6t\\ z=5+9t\end{array}\right.d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=3+5t\text{'}\\ y=4-2t\text{'}\\ z=1+3t\text{'}\end{array}\right.$ . Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:$d:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=6+4t\\ z=4+t\end{array}\right.d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\text{'}\\ y=1-t\text{'}\\ z=5+2t\text{'}\end{array}\right.$

a. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

b. Tìm tọa độ giao điểm giữa hai đường thẳng (nếu có)

c) Sản phẩm:

Nội dung bài học
- d song song d’ - $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}}$ cùng phương - không có điểm chung - $$\begin{gathered} d//d\text{'} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u\text{'}}\\ M\in d\Rightarrow M\notin d\text{'}\end{array}\right. \end{gathered}$$	- d trùng d’ - $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}}$cùng phương - Có điểm chung - $$\begin{gathered} d\equiv d^{\text{'}} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u\text{'}}\\ M\in d\Rightarrow M\in d\text{'}\end{array}\right. \end{gathered}$$	- d cắt d’ - $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}}$ không cùng phương - Có một điểm chung - d, d’ cắt nhau $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u\text{'}}\\ d\cap d\ne \varnothing \end{array}\right.$	- d chéo d’ - $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}}$ không cùng phương - Không có điểm chung. - d ,d’ chéo nhau $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u\text{'}}\\ d\cap d=\varnothing \end{array}\right.$
Điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: $d:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a_1;a_2;a_3)$ và $M\left(x_0;y_0;z_0\right)\in d$  $d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=x_0^{\text{'}}+a_1^{\text{'}}t\text{'}\\ y=y_0^{\text{'}}+a_2^{\text{'}}t\text{'}\\ z=z_0^{\text{'}}+a_3^{\text{'}}t\text{'}\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u\text{'}}=(a_1^{\text{'}};a_2^{\text{'}};a_3^{\text{'}})$ Lúc đó: 1) $d//d\text{'}\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u\text{'}}\\ M\in d\Rightarrow M\notin d\text{'}\end{array}\right.$                                       2) d trùng d   $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\\ M\in d\Rightarrow M\in d\text{'}\end{array}\right.$ 3) d cắt d’ $\iff$ $\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u^{\text{'}}}$ và hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t=x_0^{\text{'}}+a_1^{\text{'}}t\text{'}\\ y_0+a_{2}t=y_0^{\text{'}}+a_2^{\text{'}}t\text{'}\\ z_0+a_{3}t=z_0^{\text{'}}+a_3^{\text{'}}t\text{'}\end{array}\right.$ có  đúng một nghiệm. 4) d và d’ chéo nhau $\iff$ $\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u^{\text{'}}}$ và hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t=x_0^{\text{'}}+a_1^{\text{'}}t\text{'}\\ y_0+a_{2}t=y_0^{\text{'}}+a_2^{\text{'}}t\text{'}\\ z_0+a_{3}t=z_0^{\text{'}}+a_3^{\text{'}}t\text{'}\end{array}\right.$ vô nghiệm.

ĐÁP ÁN

Ví dụ 1:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(15;-6;9\right)$ và đi qua điểm $M(1;0;5)$

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\left(5;-2;3\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{u^{\text{'}}}$.

Thế tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta có:$\left\{\begin{array}{l}1=3+5t^{\text{'}}\\ 0=4-2t^{\text{'}}\\ 5=1+3t^{\text{'}}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\text{'}=-\frac{2}{5}\\ t^{\text{'}}=2\\ t^{\text{'}}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$  vô nghiệm nên $M\notin d^{\text{'}}$. Vậy $d//d^{\text{'}}$

Ví dụ 2:

Đường thằng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;4;1\right)$, đường thẳng d' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\left(1;-1;2\right)$

Vì $\frac{2}{1}\ne \frac{4}{-1}\ne \frac{1}{2}$ nêu $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u\text{'}}$ không cùng phương.

Xét hệ phương trình: $d:\left\{\begin{array}{l}3+2t=2+t^{\text{'}}\\ 6+4t=1-t^{\text{'}}\\ 4+t=5+2t^{\text{'}}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t^{\text{'}}=-1\end{array}\right.$. Vậy dvà d' cắt nhau tại điểm $I\left(1;2;3\right)$

d) Tổ chức thực hiện

* Chuyển giao nhiệm vụ:

Đối với giáo viên: Yêu cầu học sinh quan sát hình vẽ

H1: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong các trường hợp?

H2: Nêu nhận xét về phương của hai vectơ chỉ phương, số điểm chung của hai đường thẳng, trong mỗi trường hợp cụ thể.

H3: Giả sử cho biết phương trình của hai đường thẳng, tìm điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau.

Đối với học sinh: Quan sát hình vẽ xác định:

+ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian trong các trường hợp.

+ Chỉ ra mối quan hệ giữa các vectơ chỉ phương và số điểm chung của hai đường thẳng đó.

+ Xác định điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau khi biết phương trình của chúng.

* Thực hiện nhiệm vụ:

–   Giáo viên: Trình chiếu hình ảnh, yêu cầu học sinh thảo luận cặp đôi.

–   Học sinh lắng nghe câu hỏi, suy nghĩ, định hướng câu trả lời.

–   Học sinh thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ được giao.

–   Giáo viên theo dõi, hỗ trợ các nhóm.

* Báo cáo, thảo luận:  

–   Xác định được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian trong các trường hợp và chỉ ra được mối liên hệ :

 + $d//d\text{'}\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u\text{'}}\\ M\in d\Rightarrow M\notin d\text{'}\end{array}\right.$                              

+ $d\equiv d^{\text{'}}\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u\text{'}}\\ M\in d\Rightarrow M\in d\text{'}\end{array}\right.$       

+ d, d’ cắt nhau $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u\text{'}}\\ d\cap d^{\text{'}}\ne \varnothing \end{array}\right.$                   

+ d, d’ chéo nhau $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u\text{'}}\\ d\cap d^{\text{'}}=\varnothing \end{array}\right.$

–   Chỉ ra được điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau khi biết phương trình của hai đường thẳng:

1) $d//d\text{'}\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u\text{'}}\\ M\in d\Rightarrow M\notin d\text{'}\end{array}\right.$    

2) d trùng d   $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\\ M\in d\Rightarrow M\in d\text{'}\end{array}\right.$

3) d cắt d’ $\iff$ $\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u^{\text{'}}}$ và hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t=x_0^{\text{'}}+a_1^{\text{'}}t\text{'}\\ y_0+a_{2}t=y_0^{\text{'}}+a_2^{\text{'}}t\text{'}\\ z_0+a_{3}t=z_0^{\text{'}}+a_3^{\text{'}}t\text{'}\end{array}\right.$ có  đúng một nghiệm.

4) d và d’ chéo nhau $\iff$ $\overrightarrow{u}\ne k\overrightarrow{u^{\text{'}}}$ và hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t=x_0^{\text{'}}+a_1^{\text{'}}t\text{'}\\ y_0+a_{2}t=y_0^{\text{'}}+a_2^{\text{'}}t\text{'}\\ z_0+a_{3}t=z_0^{\text{'}}+a_3^{\text{'}}t\text{'}\end{array}\right.$ vô nghiệm.

–   Giáo viên yêu cầu các nhóm trình bày sản phẩm vào bảng phụ (hoặc giấy A0)

–   Học sinh theo dõi, nhận xét chéo lẫn nhau và hoàn thiện sản phẩm.

* Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

–   GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

–       Chốt kiến thức : Quy trình các bước thực hiện xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian khi biết phương trình của chúng.

Bước 1 : Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Bước 2 : Kiểm tra điều kiện hai vectơ đó cùng phương với nhau hay không ?

Nếu hai vectơ chỉ phương cùng phương với nhau thì chuyển sang bước 3.

Nếu hai vectơ chỉ phương không cùng phương thì chuyển sang bước 4.

Bước 3 : Lấy điểm M thuộc đường thẳng d, kiểm tra M thuộc đường thẳng d’ hay không ?

Nếu M không thuộc d’ thì kết luận $d//d^{\text{'}}$, ngược lại thì kết luận $d\equiv d^{\text{'}}$

Bước 4 : Giải hệ phương trình tạo bởi phương trình của hai đường thẳng

Nếu hệ có 1 nghiệm thì kết luận d cắt d’, nếu hệ vô nghiệm kết luận d và d’ chéo nhau.

III. Nội dung 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

a) Mục tiêu:

–       Xác định được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian khi biết phương trình.

–       Tìm được tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Nội dung:

–       Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

Bài toán: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$. Tìm điều kiện để d cắt $\left(\alpha \right)$, $d\subset \left(\alpha \right)$, $d//\left(\alpha \right)$?

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối giữa mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y+z-3=0$ với đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\\ z=1\end{array}\right.$                 b) $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=1-t\end{array}\right.$                  c) $\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-4t\\ z=1+3t\end{array}\right.$

c) Sản phẩm:

Nội dung bài học

Gọi $M\left(x;y;z\right)$ là điểm chung (nếu có) của đường thẳng d và mp$\left(\alpha \right)$. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\\ Ax+By+Cz+D=0\end{array}\right.\left(I\right)$ - Nếu (I) vô nghiệm thì $d//\left(\alpha \right)$ - Nếu (I) có một nghiệm thì d cắt mp$\left(\alpha \right)$  - Nếu (I) có vô số nghiệm thì $d\subset \left(\alpha \right)$

ĐÁP ÁN

Ví dụ:

a) Gọi $M\left(x;y;z\right)$ là điểm chung của đường thẳng d và mp$\left(\alpha \right)$, tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\\ z=1\\ x+y+z-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\\ z=1\\ 3=0\end{array}\right.$. Hệ phương trình vô nghiệm nên $d//\left(\alpha \right)$.

b) Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=1-t\\ x+y+z-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=1=t\\ 0t=0\end{array}\right.$. Hệ phương trình có vô số nghiệm nên $d\subset \left(\alpha \right)$

c) Xét hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-4t\\ z=1+3t\\ x+y+z-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-4t\\ z=1+3t\\ 4t=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=1\\ t=0\end{array}\right.$.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên d cắt mp$\left(\alpha \right)$ tại điểm $M\left(1;1;1\right)$

d) Tổ chức thực hiện

* Chuyển giao nhiệm vụ:

–       Đối với giáo viên:

+ Yêu cầu học sinh nhắc lại các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

+  Nêu bài toán, yêu cầu học sinh xác định điều kiện để đường thẳng song song, cắt hay chứa trong mặt phẳng khi biết phương trình của chúng

–       Đối với học sinh: Nhận nhiệm vụ và thực hiện nhiệm vụ được giao.

* Thực hiện nhiệm vụ:

–       Đối với giáo viên: Trình chiếu hình ảnh, yêu cầu học sinh thảo luận cặp đôi, thảo luận nhóm nhỏ thực hiện nhiệm vụ, tiến hành theo dõi, hỗ trợ các nhóm.

–       Đối với học sinh: Thảo luận cặp đôi, thảo luận nhóm nhỏ thực hiện nhiệm vụ.

* Báo cáo, thảo luận:  

+ Cử đại diện nhóm báo cáo nhiệm vụ. Sản phẩm nhóm trình bày trên bảng phụ (hoặc giấy A0)

+ Các bạn khác nhận xét, chất vấn lẫn nhau.

* Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

–       Giáo viên nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

–     Giáo viên chốt kiến thức:  Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mp trong không gian khi biết phương trình của chúng, ta xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\\ Ax+By+Cz+D=0\end{array}\right.\left(I\right)$.

+ Nếu (I) vô nghiệm thì $d//\left(\alpha \right)$

+ Nếu (I) có một nghiệm thì d cắt mp$\left(\alpha \right)$

+ Nếu (I) có vô số nghiệm thì $d\subset \left(\alpha \right)$

Hoặc:

  + $d//mp\left(\alpha \right)\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_{\alpha }}=0\\ M\in d\Rightarrow M\notin \left(\alpha \right)\end{array}\right.$   

 + $d\subset \left(\alpha \right)\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_{\alpha }}=0\\ M\in d\Rightarrow M\in \left(\alpha \right)\end{array}\right.$

 + dcắt $\left(\alpha \right)\iff \overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_{\alpha }}\ne 0$

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu:

- Viết được phương trình tham số của đường thẳng.

- Nêu vấn đề, vấn đáp, gợi mở, tổ chức hoạt động nhóm

b) Nội dung:

Luyện tập 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau:

1/d đi qua $A\left(2;3;1\right)$ và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(4;7;-1\right)$;

2/d đi qua điểm $M\left(-5;2;0\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(p\right):4\text{x}+5y-2\text{z}+2021=0$

3/d đi qua $B(1;-4;2)$ và song song với $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=9-3t\\ z=5+6t\end{array}\right.\left(t\in R\right)$

4/d đi qua hai điểm $A(3;1;1),B\left(3;2;5\right)$

Luyện tập 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=2+4t\\ z=5-6t\end{array}\right.;\left(t\in R\right)$

Lần lượt lên các mặt phẳng          a)(Oxy)      b)(Oyz)     c)(Oxz)

c) Sản phẩm:

Luyện tập 4: Phiếu bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  và mặt phẳng

$\left(\alpha \right) x+2y-z+2=0$. Chọn khẳng định đúng.

A. $d//\left(\alpha \right)$           B. $d\subset \left(\alpha \right)$          C. d cắt $\left(\alpha \right)$        D. dvuông góc $\left(\alpha \right)$.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{-3}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right) x-y+3z+9=0$ cắt nhau tại điểm M có tọa độ là:

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${(x-2)}^2+{(y-1)}^2+z^2=9$ và đường thẳng $d \frac{x+2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{-1}$. Tọa độ các giao điểm của d và (S) là:

A. (0, –1; 1) và (2; -2; 0)                                              B. (4, -3; -1) và (2; –2; 0)

C. (0, –1; 1) và (2; –2; 0)                                             D. (4, -3; –1) và (–2; 0; 2)

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$ và mặt cầu ${(x-4)}^2+{(y+1)}^2+{(z-2)}^2=27$. Đường thẳng d cắt (S) theo dây cung AB. Độ dài AB bằng:

A. 9                     B. 6                 C. 36                        D. $\sqrt{56}$.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right) x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z-1=0$. Tìm điểm B đối xứng với $A(1;0;-1)$ qua tâm I của mặt cầu đã cho.

c) Sản phẩm

Luyện tập 1

$$\begin{gathered} 1/\left\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=3+7t\\ z=1-t\end{array}\right.;\left(t\in R\right)2/\left\{\begin{array}{l}x=-5+4t\\ y=2+5t\\ z=-2t\end{array}\right.;\left(t\in R\right) \\ 3/\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-4-3t\\ z=2+6t\end{array}\right.;\left(t\in R\right)4/\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1+t\\ z=1+4t\end{array}\right.;\left(t\in R\right) \end{gathered}$$

Luyện tập 2

$a)d:\left\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=2+4t\\ z=0\end{array}\right.;\left(t\in R\right)b)d:\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2+4t\\ z=5-6t\end{array}\right.;\left(t\in R\right)c)d:\left\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=0\\ z=5-6t\end{array}\right.;\left(t\in R\right)$

Luyện tập 4

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

d) Tổ chức thực hiện

* Chuyển giao nhiệm vụ:

Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm

* Thực hiện nhiệm vụ:

Bước 1:

+ Giáo viên phát phiếu học tập cho các nhóm. Các nhóm xác định vấn đề, nhiệm vụ của nhóm.

+ Giao nhiệm vụ cho các nhóm, quy định thời gian hoàn thành sản phẩm.

Bước 2:

+ Yêu cầu mỗi nhóm lập kế hoạch làm việc.

+ Thỏa thuận nguyên tắc làm việc.

+ Phân công nhiệm vụ của mỗi cá nhân trong nhóm.

+ Cử đại diện trình bày sản phẩm của nhóm.

* Báo cáo, thảo luận:  

Bước 3:

+ Đại diện từng nhóm trình bày sản phẩm sau khi thảo luận chủ đề của nhóm.

+ Các nhóm lắng nghe, quan sát, chất vấn, bình luận và bổ sung ý kiến.

* Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

+ Giáo viên tổng hợp nhận xét về thái độ làm việc của mỗi nhóm, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương.

4-HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG -TÌM TÒI

a. Mục tiêu:  Học sinh biết chọn hệ tọa độ, từ đó:

+ đọc được tọa độ của các điểm.

+ Viết được phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng trong không gian.

+ Tính được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

b. Nội dung:

Vận Dụng 1: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa giải bài toán:

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách tử điểm A tới các mặt phẳng: 

     1/ (A’BD)                                  2/ (B’D’C)

Vận Dụng 2: Có một chiếc lồng bằng sắt dạng hình hộp chữ nhật như hình vẽ bên có kích thước các cạnh $AB=2m,A\text{D}=3m,AA\text{'}=1m$.Người thợ hàn muốn hàn một thanh sắt nối 2 điểm M, N nối 2 đoạn AD và BD’. Tính chiều dài ngắn nhất của đoạn thanh sắt cần nối MN?

Vận dụng 3: (Học sinh tìm tòi sáng tạo)

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là hệ thống xác định vị trí dựa trên các vệ tinh nhân tạo. Trong cùng một thời điểm trên mặt đất sẽ được xác định nếu xác định khoảng cách từ điểm đó đến ít nhất 3 vệ tinh.

Hãy giải thích tại sao để xác định vị trí của một điểm nào đó lại cần phải có ít nhất 3 vệ tinh để định vị?

c. Sản phẩm:

Vận dụng 1:

1/$d\left(A;\left(A\text{'}B\text{D}\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$                      2/$d\left(A;\left(B\text{'}D\text{'}C\right)\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Vận dụng 2

-Viết được phương trình tham số của các đường thẳng AD, BD’

-Tham số hóa được tọa độ của M, N

-Sử dụng thành thạo công thức tính khoảng cách 2 điểm$MN=\frac{2\sqrt{5}}{5}\left(m\right)$

Vận dụng 3: Học sinh tự tìm hiểu và trả lời được yêu cầu trên góc độ của toán học.

d. Tổ chức thực hiện

Đối với vận dụng 1 và 2:

* Chuyển giao nhiệm vụ:

Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm

* Thực hiện nhiệm vụ:

Bước 1:

+ Giáo viên phát phiếu học tập cho các nhóm. Các nhóm xác định vấn đề, nhiệm vụ của nhóm.

+ Giao nhiệm vụ cho các nhóm, quy định thời gian hoàn thành sản phẩm.

Bước 2:

+ Yêu cầu mỗi nhóm lập kế hoạch làm việc.

+ Thỏa thuận nguyên tắc làm việc.

+ Phân công nhiệm vụ của mỗi cá nhân trong nhóm.

+ Cử đại diện trình bày sản phẩm của nhóm.

* Báo cáo, thảo luận:  

Bước 3:

+ Đại diện từng nhóm trình bày sản phẩm sau khi thảo luận chủ đề của nhóm.

+ Các nhóm lắng nghe, quan sát, chất vấn, bình luận và bổ sung ý kiến.

* Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

+ Giáo viên tổng hợp nhận xét về thái độ làm việc của mỗi nhóm, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương.

Đối với vận dụng 3: Yêu cầu học sinh về nhà tìm hiểu về hệ thống định vị để trả lời câu hỏi: Hãy giải thích tại sao để xác định vị trí của một điểm nào đó lại cần phải có ít nhất 3 vệ tinh để định vị?

Ngày   ......   tháng   .......    năm 2021

                                                                                             TTCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Giáo án Hệ tọa độ trong không gian

Giáo án Phương trình mặt phẳng

Giáo án Ôn tập chương 3

Giáo án Ôn tập cuối năm

Giáo án Số phức