Giáo án Phép chia số phức mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 12

Thời gian thực hiện: ..... tiết

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Biết khái niệm số phức nghịch đảo, phép chia số phức

- Hiểu cách thực hiện phép chia các số phức được thực hiện như thế nào?

- Bài toán tính tổng và tích của hai số phức liên hợp.

- Biết thực hiện các phép tính trong một biểu thức chứa các số phức

- Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể.

2. Năng lực

 - Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập, tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập, tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập và trong cuộc sống, trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, biết phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên trong nhóm. Các thành viên trong nhóm tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm, có thái độ tôn trọng, lắng nghe và có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ bài học

- Năng lực ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học

3.Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ, tự giác, tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của giáo viên

- Năng động, trung thực, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, có tinh thần hợp tác xây dựng cao

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Kiến thức về phép chia số phức

- Máy chiếu

- Bảng phụ, bút viết bảng

- Phiếu học tập

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Ôn lại kiến thức phép nhân, phép cộng hai số phức. Đặc biệt hai số phức liên hợp để giới thiệu bài mới

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan đến bài học đã biết

 H1: Cho số phức  $z=2+3i$. Tính $z+\overline{z}$   và $z.\overline{z}$.

H2:  Cho số phức  $z=a+bi$. Tính $z+\overline{z}$   và $z.\overline{z}$  .

c) Sản phẩm:

Câu trả lời của HS

L1: $z+\overline{z}=\mathrm{4,}z.\overline{z}=13$

L2: $z+\overline{z}=2a,z.\overline{z}=a^2+b^2={\left|z\right|}^2$

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ: GV nêu câu hỏi

*) Thực hiện: HS suy nghĩ độc lập

*) Báo cáo thảo luận:

- GV gọi 2 học sinh lên bảng trình bày câu trả lời của mình ( rút ra nhận xét trong từng trường hợp)

- Các học sinh khác làm vào giấy nháp, nhận xét, bổ sung và hoàn thiện câu trả lời

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận xét và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới

2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

NỘI DUNG 1: Tổng và tích của hai số phức liên hợp

a) Mục tiêu: Học sinh nắm chắc cách tính tổng và tích của hai số phức liên hợp.

b) Nội dung: Giáo viên yêu cầu học sinh làm ví dụ cụ thể. Từ đó cho nhận xét trong trường hợp tổng quát.

 H1: Ví dụ 1: Cho $z=2+3i$ .  Hãy tính $z+\overline{z}$  và $z.\overline{z}$ . Nêu nhận xét.

 H2: Bài toán: Cho $z=a+bi$ .  Hãy tính $z+\overline{z}$  và $z.\overline{z}$ .

 H3: Ví dụ 2: Cho $z=-3+5i$  Khi đó $z+\overline{z}$  và  $z.\overline{z}$ lần lượt là:

A. 6  và 34 .       B.  -6   và $\sqrt{34}$  .       C.   -6 và 34.           D. 10 và 34.

c) Sản phẩm:

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp.

Ví dụ 1: Cho $z=2+3i$  Ta có:

 $z+\overline{z}=(2+3i)+(2-3i)=4$               

  $z.\overline{z}=(2+3i)(2-3i)=2^2-{\left(3i\right)}^2=2^2+3^2=13$             

Tổng quát:

Cho số phức $z=a+bi$ . Ta có:

 $z+\overline{z}=(a+3i)+(a-bi)=2a$                    

 $z.\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-{\left(bi\right)}^2=a^2+b^2={\left|z\right|}^2$                  

* Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

* Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

Ví dụ 2: Cho $z=-3+5i$

Ta có  $z+\overline{z}=2a=-6$ và $z.\overline{z}=a^2+b^2=34$

Do đó chọn C.

d) Tổ chức thực hiện

NỘI DUNG 2: Phép chia hai số phức.

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được cách chia số phức.

b) Nội dung: Giáo viên yêu cầu học sinh làm ví dụ từ đó dẫn dắt đến định nghĩa phép chia số phức, Áp dụng định nghĩa để làm ví dụ.

H1: Ví dụ 1: Tìm số phức z  thỏa mãn:   $(1+i)z=4+2i$

H2: Tổng quát: Tìm số phức z  thỏa mãn: $(a+bi)z=c+di$

H3: Ví dụ 2: Thực hiện phép chia

a) $z=\frac{2-2i}{3+2i}$              b) $z=\frac{6+3i}{5i}$

H4: Ví dụ 3: Tìm nghịch đảo  của số phức  biết:

a)$z=\sqrt{2}-\sqrt{3}i$            b)$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$

H5: Ví dụ 4: Giải phương trình $(2-i)z=3-2i$

c) Sản phẩm:

2. Phép chia số phức.

Ví dụ 1: Tìm số phức z thỏa mãn: $(1+i)z=4+2i\text{}\left(1\right)$

Cách 1: Gọi $z=a+bi$

$(1+i)z=4+2i$

$\iff (1+i)(a+bi)=4+2i$$\iff (a-b)+(a+b)i=4+2i$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=4\\ a+b=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-1\end{array}\right.$

Vậy$z=3-i$

Cách 2: Nhân cả hai vế của (1) với số phức liên hợp của $(1+i)$ ta được:

$(1+i)(1-i)z=(4+2i)\text{}(1-i)$$\iff 2z=6-2i$$\iff z=\frac{1}{2}(6-2i)=3-i$.

Định nghĩa:  Chia số phức $c+di$ cho số phức  $a+bi$ khác 0 là tìm số phức z sao cho $(a+bi)z=c+di$

. Số phức z gọi là thương của phép chia $c+di$ cho $a+bi$ .

Kí hiệu là: $z=\frac{c+di}{a+bi}$

Cách tính 

Theo định nghĩa phép chia số phức ta có:  $(a+bi)z=c+di\left(1\right)$

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của $a+bi$ ta được:

$(a+bi)(a-bi)z=(c+di)(a-bi)$   $\iff (a^2+b^2)z=ac+bd+(ad-cb)i$

$\iff z=\frac{1}{a^2+b^2}\text{[}ac+bd+(ad-cb)i\text{]}$$\iff z=\frac{ac+bd}{a^2+b^2}+\frac{ad-cb}{a^2+b^2}i.$

Chú ý: Để tính thương $\frac{c+di}{a+bi}$ ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

H3: Ví dụ 2: Thực hiện phép chia

a)$z=\frac{2-2i}{3+2i}$               b)$z=\frac{6+3i}{5i}$

Lời giải

a)$z=\frac{2-2i}{3+2i}=\frac{(2-2i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\frac{2-10i}{13}$

b)$z=\frac{6+3i}{5i}=\frac{(6+3i).(-i)}{5}=\frac{3-6i}{5}=\frac{3}{5}-\frac{6}{5}i$

H4: Ví dụ 3: Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức z biết:

a)$z=\sqrt{2}-\sqrt{3}i$            b)$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$

Lời giải

a)           

$\frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}i}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$

b)$\frac{1}{z}=\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i}{\frac{10}{4}}=\frac{1-3i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i$

H5: Ví dụ 4: Giải phương trình $(2-i)z=3-2i$

Lời giải

$(2-i)z=3-2i\iff z=\frac{3-2i}{2-i}$

$\iff z=\frac{(3-2i)(2+i)}{5}\iff z=\frac{8-i}{5}\iff z=\frac{8}{5}-\frac{1}{5}i$

d) Tổ chức thực hiện

3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP VÀ VẬN DỤNG

HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các kiến thức về phép chia hai số phức để tìm phần thực, phần ảo , modun và số phức nghịch đảo của một số phức.

b) Nội dung:

PHIẾU HỌC TẬP 1

Câu 1.    Tìm số phức nghịch đảo của số phức $z=1-\sqrt{3}i$

     A.$\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$ .        B.$-1+\sqrt{3}i$ .       C.$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ .        D.$1+\sqrt{3}i$ .

Câu 2.    Tìm số phức z thỏa $(3+i)\overline{z}+(1+2i)z=3-4i$

     A.$z=-1+5i$ .       B.$z=2+3i$ .        C.$z=-2+3i$ .      D.$z=2+5i$ .

Câu 3.    Tìm số phức z biết: $z+2i\overline{z}=\left(1+i\right)\left(3+i\right)$

     A.$2+12i$             B.$2-12i$            C.$\frac{2}{3}-4i$          D.$\frac{2}{3}+4i$

Câu 4.    110Cho số phức z thỏa $z\left(1-2i\right)=\left(3+4i\right){\left(2-i\right)}^2$. Khi đó, sốphức z là:

     A.$z=25$              B.$z=5i$           C.$z=25+50i$          D.$z=5+10i$

Câu 5.      Cho số phức thỏa mãn $z\left(1+i\right)=3-5i$. Tìm số phức liên hợp $\overline{z}$ của z.

A.$\overline{z}=\frac{-2}{5}-\frac{11}{5}i$ .    B.$=\frac{\text{2}}{\text{5}}-\frac{\text{11}}{\text{5}}\text{i}$ .    C.$=\frac{-2}{5}+\frac{11}{5}i$ .    D.$=\frac{2}{5}+\frac{11}{5}i$ .

Câu 6.      Cho số phức z thỏa mãn $z\left(1+i\right)=3-5i$. Tính môđun của

A.$\left|z\right|=\sqrt{17}$ .       B.$\left|z\right|=16$ .         C.$\left|z\right|=17$ .               D.$\left|z\right|=4$ .

Câu 7.      Cho số phức $z={\left(1-2i\right)}^2$. Tính mô đun của số phức $\frac{1}{z}$.

A.$\frac{1}{5}$.                 B.$\sqrt{5}$ .                  C.$\frac{1}{25}$ .                     D.$\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Câu 8.      Cho số phức $z=1-\frac{1}{3}i$. Tìm số phức $\text{w}=i\overline{z}+3z$.

A.$\text{w}=\frac{8}{3}$ .           B.$\text{w}=\frac{8}{3}+i$ .               C.$\text{w}=\frac{10}{3}$ .            D.$\text{w}=\frac{10}{3}+i$ .

Câu 9.      Cho số phức z khác 0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.$\frac{z}{\overline{z}}$ là số thuần ảo.      B. $z.\overline{z}$ là số thực.

C. $z+\overline{z}$ là số thực.        D.$z-\overline{z}$ là số ảo.

Câu 10.    Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình $\left(1+i\right)\overline{z}=3-5i$.

A.$M\left(-1;4\right)$ .      B.$M\left(-1;\text{\hspace{0.17em}-}4\right)$ .         C.$M\left(1;4\right)$ .             D.$M\left(1;-4\right)$ .

Câu 11.    Cho số phức z thỏa mãn ${\left(1-\sqrt{3}i\right)}^{2}z=4-3i$. Môđun của z bằng

A. $\frac{5}{4}$                    B. $\frac{5}{2}$                       C.$\frac{2}{5}$                    D.$\frac{4}{5}$

Câu 12. Cho $z=\frac{3+i}{x+i}$. Tổng phần thực và phần ảo của z là

A. $\frac{2x-4}{2}$  .         B.$\frac{4x+2}{2}$ .        C.$\frac{4x-2}{x^2+1}$ .                       D.$\frac{2x+6}{x^2+1}$ .

c) Sản phẩm: học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình

d) Tổ chức thực hiện

4. HOẠT ĐỘNG 4:  VẬN DỤNG.

a)Mục tiêu: Vận dụng phép chia hai số phức vào các dạng toán liên qua

b) Nội dung

PHIẾU HỌC TẬP 2

Vận dụng 2: Tìm giá trị lớn nhất của $\left|z\right|$, biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|\frac{-2-3i}{3-2i}z+1\right|=1$

      A. 1                   B. 2                     C. 0                      D. 3

Vận dụng 3: Trong mặt phẳng phức, cho A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z_1=\frac{-3-i}{1+i}$, $z_2=1+4i$, $z_3=5$, $z_4$. Tìm số phức $z_4$ để tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn là:

     A.$z_4=2-2i.$            B.$z_4=4-2i.$        C.$z_4=4-i.$       D.$z_4=3+3i.$

Vận dụng 4: Cho số phức $z\ne 0$ thỏa mãn $\frac{iz-\left(3i+1\right)\overline{z}}{1+i}={\left|z\right|}^2$. Số phức $w=\frac{13}{3}iz$ có môđun bằng

A.26 .                  B. $\sqrt{26}$.                        C.$\frac{3\sqrt{26}}{2}$ .                     D. 13.

c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh

d) Tổ chức thực hiện

*Hướng dẫn làm bài

+ Vận dụng 1

Lời giải

${\left(x^2+x+1\right)}^{2018}$$=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{4036}{x}^{4036}$.

Thay $x=i$ với $i^2=-1$ ta được:

${\left(-1\right)}^{1009}=a_0+a_{1}i+a_2{i}^2+a_3{i}^3+\mathrm{...}+a_{4034}{i}^{4034}+a_{4035}{i}^{4035}+a_{4036}{i}^{4036}$.

Đối chiếu phần thực ở hai vế ta được:

$-1=a_0-a_2+a_4-a_6+\mathrm{...}-a_{4034}+a_{4036}$

Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể thay 2018 bằng 2, 4 để tính trực tiếp S.

+ Vận dụng 2

Xét điểm M(x,y) biểu diễn cho số phức z=x+yi thỏa mãn điều kiện $\left|\frac{-2-3i}{3-2i}z+1\right|=1$ thuộc đường tròn $x^2+{(y+1)}^2=1$ tâm I (0; - 1), bán kính R = 1. $\left|z\right|=OM$, OM lớn nhất khi OM = OI + R = 1 + 1 = 2. Chọn B.

+ Vận dụng 3

Hướng dẫn giải: Chọn B

+ Vận dụng 4

Lời giải

Gọi $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$. Suy ra $\overline{z}=a-bi$.

Ta có $\frac{iz-\left(3i+1\right)\overline{z}}{1+i}={\left|z\right|}^2\iff \frac{i\left(a+bi\right)-\left(3i+1\right)\left(a-bi\right)}{1+i}=a^2+b^2$

$\iff ai-b-3ai-3b-a+bi=a^2+b^2+a^{2}i+b^{2}i$

$\iff \left(a^2+b^2+2a-b\right)i+\left(a^2+b^2+4b+a\right)=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+2a-b=0\\ a^2+b^2+a+4b=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}26b^2+9b=0\\ a=5b\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}b=\mathrm{0,}a=0\\ b=\frac{-9}{26},a=\frac{-45}{26}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}z=0\\ z=\frac{-45}{26}i-\frac{9}{26}\end{array}\right.$

$\Rightarrow z=\frac{-45}{26}i-\frac{9}{26}$

 (Vì $z\ne 0$).

Với $z=\frac{-45}{26}i-\frac{9}{26}\Rightarrow \text{w}=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}i\Rightarrow \left|\text{w}\right|=\frac{3\sqrt{26}}{2}$.

Ngày   ......   tháng   .......    năm 2021

                                                                       BCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Giáo án Số phức

Giáo án Cộng, trừ và nhân số phức

Giáo án Phương trình bậc hai với hệ số thực

Giáo án Ôn tập chương 4

Giáo án Ôn tập cuối năm