Giáo án Phương trình mặt phẳng mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - HH: 12

Thời gian thực hiện: ..... tiết

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Biết tính tích có hướng giữa hai vectơ.

- Nhận biết được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- Viết được phương trình tổng quát và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

- Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Xác định được vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng song song.

- Vận dụng được kiến thức tọa độ vào giải quyết bài toán hình học cổ điển.

2. Năng lực

 - Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của giáo viên.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

    - Kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong không gian. 

    - Máy chiếu.

    - Bảng phụ.

    - Phiếu học tập.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Ôn tập các kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong không gian.

b) Nội dung: Giáo viên hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan bài học đã biết thông hoạt động H1 và H2.

H1- Hoàn chỉnh các phép toán sau?

H2- Hãy đặt các điểm đã cho trong hình sau vào mặt phẳng tọa độ có chứa điểm đó? (Với $a,b,c\ne 0$)

c) Sản phẩm:

Câu trả lời của HS:

H1- Hoàn chỉnh các phép toán sau?

H2- Hãy đặt các điểm đã cho trong hình sau vào mặt phẳng tọa độ có chứa điểm đó? (Với $a,b,c\ne 0$)

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ :

-  Giáo viên nêu nhiệm vụ:

+ Hãy nhắc lại cách tính các phép toán của vectơ trên hệ trục tọa độ Oxyz.

+ Hãy hoàn thành các kết quả trong bảng H1.

+ Hãy hoàn thành các kết quả trong bảng H1.

*) Thực hiện:  Học sinh suy nghĩ độc lập.  

*) Báo cáo, thảo luận:  

-  GV gọi lần lượt các hs, lên bảng trình bày câu trả lời của mình.

-  Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

-  GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

-  Dẫn dắt vào bài mới.

 Nêu tình huống có vấn đề liên quan đến bài học:

+ Qua câu hỏi H1, ta thấy các kết quả nhận được khi thực hiện các phép toán cộng hai vectơ, trừ hai vectơ và nhân vectơ với một số thực đều cho ra kết quả là một vectơ mới. Riêng tích vô hướng của hai vectơ lại là một số thực. Bài học hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu thêm một phép toán về nhân hai vectơ mà kết quả là một vectơ mới gọi là tích có hướng của hai vectơ.

+ Qua câu hỏi H2, các diểm B,D,K không thuộc mặt phẳng tọa độ. Làm thế nào để tìm được mặt phẳng chứa các điểm này?

2.HOẠT ĐỘNG 2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

1. Hình thành kiến thức vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a) Mục tiêu: Hình thành được khái niệm véctơ  pháp tuyến của mặt phẳng.

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ.

c) Sản phẩm:

Cho mp (P).

Nếu vectơ $\overrightarrow{n}$ $\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với (P) thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của (P).

Bài toán: Trong KG, cho mp (P) và hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ có giá song song hoặc nằm trong (P). Chứng minh rằng (P) nhận vectơ sau làm VTPT:

$\overrightarrow{n}=\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right)$

Vectơ $\overrightarrow{n}$ xác định như trên chính là  tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Kí hiệu: $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$ hoặc $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$.(tích có hướng của 2 véctơ đã học ở chủ đề trước)

d) Tổ chức thực hiện

2. Hình thành kiến thức phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết cách viết được phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết véctơ  pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng.

b)Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ

H1: Bài toán 1. Cho mặt phẳng (P) có véctơ  pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$và một điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ thuộc mặt phẳng (P). Điều kiện cần và đủ để $M\left(x;y;z\right)$ thuộc (P).

H2: Bài toán 2. Cho mặt phẳng (P) có phương trình $\text{Ax}+By+C\text{z}+D=0$. Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

H3: Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình $\text{2x}+3y-\text{z}+2=0$. Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.

H4: Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0\left(1;-2;3\right)$ và có véctơ  pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-2;1;4).$

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

3. Hình thành kiến thức các trường hợp riêng của mặt phẳng

a) Mục tiêu: Hình thành kiến thức về các trường hợp riêng của mặt phẳng

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ.

c) Sản phẩm

+) D = 0 $\iff$ (P) đi qua O.

+) A = 0 $\iff$ $\left[\begin{array}{l}\left(P\right)\supset \text{Ox}\\ \left(P\right)\parallel \text{Ox}\end{array}\right.$.

+  A = B = 0 $\iff$ $\left[\begin{array}{l}\left(P\right)\parallel \left(\text{Ox}y\right)\\ \left(P\right)\equiv \left(\text{Ox}y\right)\end{array}\right.$.

+ (P) cắt các trục $Ox,Oy,Oz$lần lượt tại $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$.

Nhận xét: Nếu các hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì có thể đưa phương trình của (P) về dạng:            $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$  (2). (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.

d) Tổ chức thực hiện

4. Hình thành kiến thức về điều kiện hai mặt phẳng song song và hai mặt phẳng vuông góc

a) Mục tiêu: Hình thành kiến thức về điều kiện hai mặt phẳng song song và hai mặt phẳng vuông góc.

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ

c) Sản phẩm

· $\left({\alpha }_1\right)\parallel \left({\alpha }_2\right)$$\iff \left\{\begin{array}{l}(A_1;B_1;C_1)=k(A_2;B_2;C_2)\\ D_1\ne k{\text{D}}_2\end{array}\right.$

· $\left({\alpha }_1\right)\equiv \left({\alpha }_2\right)$$\iff \left\{\begin{array}{l}(A_1;B_1;C_1)=k(A_2;B_2;C_2)\\ D_1=k{\text{D}}_2\end{array}\right.$

· $\left({\alpha }_1\right),\left({\alpha }_2\right)$ cắt nhau$\iff$ $(A_1;B_1;C_1)\ne k(A_2;B_2;C_2)$.

· $\left({\alpha }_1\right)\perp \left({\alpha }_2\right)\iff {\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$

·) $\left({\alpha }_1\right)\perp \left({\alpha }_2\right)\iff A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$

d) Tổ chức thực hiện

5. Hình thành kiến thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

a) Mục tiêu: Hình thành kiến thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ.

c) Sản phẩm

Định lý: (SGK trang 78). $d\left(M_0,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Ví dụ

1) Tính khoảng cách từ $M\left(1;0;-3\right)$ đến mp(P): $2x+2y-z+4=0$ 

2) Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng  $\left(\alpha \right):2x+y+z-14=\mathrm{0,}\left(\beta \right):2x+y+z+1=0$.

Giải

1) $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.1+2.0-(-3)+4\right|}{\sqrt{4+4+1}}=3$.

2) Ta có: (α) //(β) nên $d\left(\left(\alpha \right);\left(\beta \right)\right)=d\left(M_0;\left(\beta \right)\right)$với: $M_0\left(0;0;14\right)$.

d) Tổ chức thực hiện

3. HOẠT ĐỘNG: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Nắm vững các kiến thức cơ bản như xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng và công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

b) Nội dung:

Bài tập 1: Cho tứ diện có đỉnh là: $A\left(5;1;3\right)$, $B\left(1;6;2\right)$, $C\left(5;0;4\right)$, $D\left(4;0;6\right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng (ACD), (BCD)).

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua AB và song song CD.

Bài tập 2: 

a) Lập phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và điểm $P\left(4;-1;2\right)$.

b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua $M\left(2;6;-3\right)$ và song song mặt phẳng Oxy.

c) Sản phẩm: Học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình.

Bài tập 1: Cho tứ diện có đỉnh là: $A\left(5;1;3\right)$, $B\left(1;6;2\right)$, $C\left(5;0;4\right)$, $D\left(4;0;6\right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng (ACD), (BCD).

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua AB và song song CD.

Lời giải

a)                Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;1\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-1;-1;3\right)$.

Gọi $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\left(-2;-1;-1\right)$.

Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) là ${\overrightarrow{n_{{}_{}}}}_{\left(ACD\right)}=-\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$.

Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là:

$2\left(x-5\right)+\left(y-1\right)+\left(z-3\right)=0\iff 2x+y+z-14=0$.

 Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right)$, $\overrightarrow{CD}=\left(-1;0;2\right)$

Gọi $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=\left(-12;-10;-6\right)$.

Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là ${\overrightarrow{n_{{}_{}}}}_{\left(BCD\right)}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(6;5;3\right)$.

Vậy phương trình của mặt phẳng (BCD) là:

$6\left(x-1\right)+5\left(y-6\right)+3\left(z-2\right)=0\iff 6x+5y+3z-42=0$.

b)               Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right)$, $\overrightarrow{CD}=\left(-1;0;2\right)$

 $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=\left(10;9;5\right)$

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(10;9;5\right)$. Vậy phương trình của $\left(\alpha \right)$ là $10\left(x-5\right)+9\left(y-1\right)+5\left(z-3\right)=0\iff 10x+9y+5z-74=0$

Bài tập 2: 

a) Lập phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và điểm $P\left(4;-1;2\right)$.

b) Lập phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $M\left(2;6;-3\right)$ và song song mặt phẳng Oxy.

Lời giải

a)               Ta có $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$, $\overrightarrow{OP}=\left(4;-1;2\right)$.

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{OP}\right]=\left(0;-2;-1\right)$

Mặt phẳng chứa trục Ox và điểm $P\left(4;-1;2\right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(0;-2;-1\right)$. Vậy phương trình mặt phẳng là $0\left(x-0\right)-2\left(y-0\right)-\left(z-0\right)=0\iff 2y+z=0$

b)               Vì mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với mặt phẳng Oxy nên phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng: $z+D=0$ (1)

Điểm M thuộc $\left(\alpha \right)$ nên thay tọa độ của M vào (1) ta được: $-3+D=0\iff D=3$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là $z+3=0$.

d) Tổ chức thực hiện:

4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu: Học sinh có thể xác định tọa độ các vectơ, từ đó áp dụng vào các bài toán tính khoảng cách và vị trí tương đối hai mặt phẳng.

b) Nội dung

PHIẾU HỌC TẬP

Vận dụng 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$, điểm $A\left(0;0;2\right)$. Mặt phẳng (P) đi qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất. Tìm một vectơ pháp tuyến của (P)?

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)$.        B. $\overrightarrow{n}=\left(1;2;1\right)$.      C.$\overrightarrow{n}=\left(1;2;0\right)$.      D.$\overrightarrow{n}=\left(1;-2;1\right)$.

Vận dụng 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M\left(5;4;3\right)$và cắt các tia Ox,Oy,Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là:

A. $5x+4y+3z-50=0$                                       B. $x+y+z=0$

C. $x-y+z=0$                                                    D. $x+y+z-12=0$

Vận dụng 3: Trong không gian Oxyz cho hai điểm $A\left(-1;2;3\right)$, $B\left(3;0;-1\right)$ và mặt phẳng  $\left(P\right):x-2y+2z+8=0$. Tìm tọa độ điểm M  thuộc (P) sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất.

A. $M\left(0;3;-1\right)$.                                                    B. $M\left(3;0;-1\right)$.           

C. $M\left(0;3;1\right)$.                                                       D. $M\left(0;-3;-1\right)$.

c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh.

d) Tổ chức thực hiện:

 Hướng dẫn làm bài

Vận dụng 1: Mặt cầu (S) có tâm $I\left(\mathrm{1,2,3}\right),R=3$.

Ta có $IA<R$ nên điểm A nằm trong mặt cầu.

Ta có: $d\left(I,\left(P\right)\right)=\sqrt{R^2-r^2}$

Diện tích hình tròn (C) nhỏ nhất $\iff$e nhỏ nhất $\iff d\left(I,\left(P\right)\right)$ lớn nhất.

Do $d\left(I,\left(P\right)\right)\le IA$$\Rightarrow \max d\left(I,\left(P\right)\right)=IA$, khi đó mặt phẳng (P) đi qua A và nhận $\overrightarrow{IA}=\left(-1;-2;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Suy ra B đúng.

Vận dụng 2:

Gọi $A\left(a;0;0\right),B\left(0;a;0\right),C\left(0;0;a\right)$, $\left(a>0\right)$ là giao điểm của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và các tia Ox, Oy, Oz.

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A, B, C  là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$.

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua điểm $M\left(5;4;3\right)\Rightarrow a=12$

Ta có $\frac{x}{12}+\frac{y}{12}+\frac{z}{12}=1\iff x+y+z-12=0$.

Vận dụng 3: 

Gọi I  là trung điểm AB $\Rightarrow I\left(1;1;1\right)$

Ta có:

$M{A}^2+M{B}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2=2M{I}^2+\left(I{A}^2+I{B}^2\right)+2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)$ 

$=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}$  

$M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất $\Rightarrow$ M  là hình chiếu của I  lên mặt phẳng (P)

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Giáo án Hệ tọa độ trong không gian

Giáo án Phương trình đường thẳng trong không gian

Giáo án Ôn tập chương 3

Giáo án Ôn tập cuối năm

Giáo án Số phức