Giáo án Cộng, trừ và nhân số phức mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 12

Thời gian thực hiện: ….. tiết

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

+ Nắm vững quy tắc cộng, trừ và nhân số phức.

+ Biết cách thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân trong tập số phức.

+ Biết sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân các số phức để giải các bài tập liên quan: tìm phần thực, phần ảo, mô đun của một số phức, số phức liên hợp, tìm điều kiện để hai số phức bằng nhau,…

2. Năng lực

+ Năng lực tự học: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết các bài tập và các tình huống.

+ Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.

+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

+ Năng lực thuyết trình báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, thuyết trình.

+ Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ được giao.

+ Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm, có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

3. Phẩm chất

+ Biết rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

+ Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

+ Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của giáo viên.

+ Năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần xây dựng cao.

+ Hình thành tư duy lô gic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. Thiết bị dạy học và học liệu

+ Kiến thức về số phức.

+ Bảng phụ.

+ Phiếu học tập.

III. Tiến trình dạy học

1. Hoạt động 1: Mở đầu

a. Mục tiêu: Ôn tập các phép toán cộng các đa thức một ẩn.

b. Nội dung: Giáo viên hướng dẫn tổ chức học sinh ôn tập kiến thức liên quan bài học.

H1: $\left(3+4x\right)+\left(5x-6\right)=?$

H2: $\left(7-5x\right)-\left(2-3x\right)=?$

H3: $\left(3+x\right)\left(4x-2\right)=?$

c. Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh:

L1- $\left(3+4x\right)+\left(5x-6\right)=9x-3$

L2- $\left(7-5x\right)-\left(2-3x\right)=-2x+5$

L3- $\left(3+x\right)\left(4x-2\right)=4x^2+10x-6$

d. Tổ chức thực hiện

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu câu hỏi

*) Thực hiện:HS thực hiện phép toán 

*) Báo cáo, thảo luận:

+ GV gọi 3HS lên bảng thực hiện phép tính.

+Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới.

 ĐVĐ:Nếu thay biến  bởi ta được: $\left(3+4i\right)+\left(5i-6\right)=?$ và  $\left(7-5i\right)-\left(2-3i\right)=?$ và $\left(3+i\right)\left(4i-2\right)=?$

Vậy phép cộng, phép trừ và phép nhân các số phức được thực hiện như thế nào?

2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới

Hoạt động thành phần 1: Phép cộng và phép trừ số phức.

- Mục tiêu: Hiểu được quy tắc phép cộng, trừ số phức.

- Nội dung: GV yêu cầu HS nghiên cứu SGK đưa ra nhận xét: Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo qui tắc cộng, trừ đa thức.

- Phương pháp/ Hình thức tổ chức: Giải quyết vấn đề/Cả lớp, hoạt động cá nhân, theo nhóm nhỏ.

- Cách thực hiện:

Nếu $z_1=2+3i$, $z_2=-3-5i$ thì $z_1+z_2=?$, $z_1-z_2=?$

Từ đó hãy nêu quy tắc cộng và trừ số phức?

GV: Yêu cầu học sinh làm VD1, VD2, VD3, VD4 theo nhóm

+ Thực hiện: Học sinh khái quát quy tắc cộng và trừ số phức. Làm các VD1, VD2, VD3, VD 4.

+ Báo cáo, thảo luận: Học sinh nêu quy tắc cộng và trừ số phức. Chỉ định học sinh lên bảng làm các VD1, VD2, VD3, VD4.

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Nhận xét, chỉnh sửa và hoàn thiện quy tắc cộng, trừ số phức và lời giải các VD1, VD2, VD3, VD4. Yêu cầu học sinh ghi chép.

Tổng quát:

*$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

*$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

- Sản phẩm: Quy tắc cộng, trừ số phức. Lời giải các VD1, VD2, VD3, VD4.

Hoạt động thành phần 2:Phép nhân số phức

- Mục tiêu: Hiểu được quy tắc nhân số phức.

- Phương pháp/ Hình thức tổ chức: Dạy học hợp tác/ Dạy học cả lớp, hoạt động cá nhân, theo nhóm nhỏ.

- Nội dung: GV yêu cầu HS nghiên cứu SGK đưa ra nhận xét: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo qui tắc nhân 2 đa thức.

- Cách thực hiện:

+ Chuyển giao:

GV: Phép nhân $(a+b)(c+d)$được thực hiện như thế nào?

Từ đó nêu cách thực hiện phép nhân $(a+bi)(c+di)$?

GV: Yêu cầu học sinh làm VD5, VD6 theo nhóm

+ Thực hiện: Học sinh thực hiện việc nhân đa thức với đa thức. Nêu cách nhân hai số phức. Làm các VD5, VD6.

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi đại diện học sinh trả lời câu hỏi và lên bảng trình bày lời giải của các VD5, VD6.

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét bài giải từ đó nhận xét và hoàn chỉnh lời giải cho học sinh.

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay $i^2=-1$ vào kết quả thu được

Nhận xét:${\left|z\right|}^2=z.\overline{z}$

Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực

- Sản phẩm: Lời giải của VD5, VD6.

3. Hoạt động 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Học sinh biết vận dụng thành thạo các phép toán cộng, trừ và nhân số phức.

b) Nội dung:

PHIẾU HỌC TẬP 1

Câu 1:          Trong mặt phẳng phức cho hai số phức $z_1$ và $z_2$ có điểm biểu diễn là A và B (theo hình vẽ). Tìm toạ độ điểm M là điểm biểu diễn của số phức $z=z_1+z_2-z_1{z}_2$.

A. $M\left(-6;-11\right)$.       B. $M\left(15;-8\right)$.      C. $M\left(15;8\right)$.         D. $M\left(-10;-3\right)$.

Câu 2:          Cho số phức $z={\left(1+i\right)}^2\left(1+2i\right)$. Số phức z có phần ảo là

A. -2.                  B. 4.                    C. 2i.                  D. 2.

Câu 3:          Cho số phức $z=1-2i$. Tìm số phức $\omega$ biết $\overline{\omega }=1+z-z^2$.

A. $\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}i$.    B. $\omega =-1-6i$.       C. $\omega =5-2i$.         D. $\omega =3-2i$.

Câu 4:          Cho số phức $z=2+5i$. Tìm số phức $\text{w}=iz+\overline{z}$.

A. $\text{w}=-3-3i$.      B. $\text{w}=7-3i$.      C. $\text{w}=-7-7i$.      D. $\text{w}=3+7i$.

Câu 5:          Cho hai số phức $z_1=1-i$ và $z_2=-3+5i$. Tìm phần thực của số phức $w=z_1.{\overline{z}}_2+z_2$.

A. -11.               B. 3.             C. 3i.                 D. $-11-3i$.

Câu 6:          Tính môđun của số phức $z={\left(1-2i\right)}^2$.

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$.                 B. $\sqrt{5}$.                 C. 5.                   D. $\frac{1}{5}$.

Câu 7:          Số phức $T=1+i+i^2+\mathrm{...}+i^{10}$ có giá trị bằng

A. $1-i$.             B. $1+i$.               C. 1.               D. i.

Câu 8:          Cho số phức $z=a+bi$ thỏa mãn ${\left(1-2i\right)}^2+z-6i=5+5i$. Giá trị của $a+b$ bằng

A. 23.                    B. 5.                     C. 9.                      D. 2.

Câu 9:          Cho số phức z thỏa mãn $\left(3+i\right){\left(1-i\right)}^2=z-4i$. Tính $T={\left(z-2\right)}^2+{\left(4-z\right)}^2$.

A. $T=-4+8i$.     B. $T=-196+40i$.  C. $T=44-40i$.   D. $T=2-10i$.

Câu 10:      Tìm hai số thực a và b thỏa mãn $2a+\left(b+i\right)i=1+2i$ với i là đơn vị ảo.

A. $a=0$, $b=2$.     B. $a=\frac{1}{2}$, $b=1$.      C. $a=0$, $b=1$.   D. $a=1$, $b=2$.

Câu 11:      Tìm tất cả các số thực x, y sao cho $x^2-1+yi=-1+2i$

A. $x=\sqrt{2},y=2$.  B. $x=-\sqrt{2},y=2$.  C. $x=\mathrm{0,}y=2$.  D. $x=\sqrt{2},y=-2$.

Câu 12:      Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $z+2\overline{z}=6-4i$ với i là đơn vị ảo. Tìm phần ảo của số phức z.

A. $-4$.                 B. 4.                 C. 2.                    D. 6.

c) Sản phẩm: Học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình

LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1:          Trong mặt phẳng phức cho hai số phức $z_1$ và $z_2$ có điểm biểu diễn là A và B (theo hình vẽ). Tìm toạ độ điểm M là điểm biểu diễn của số phức $z=z_1+z_2-z_1{z}_2$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $z_1=4+2i$, $z_2=-1+4i$ suy ra $z=z_1+z_2-z_1{z}_2=15-8i$.

Vậy $M\left(15;-8\right)$.

Câu 2:          Cho số phức $z={\left(1+i\right)}^2\left(1+2i\right)$. Số phức z có phần ảo là

Lời giải

Chọn D

Ta có $z={\left(1+i\right)}^2\left(1+2i\right)=-4+2i$. Vậy phần ảo của z là 2.

Câu 3:          Cho số phức $z=1-2i$. Tìm số phức $\omega$ biết $\overline{\omega }=1+z-z^2$.

Lời giải

Chọn C

$z=1-2i$$\Rightarrow z^2={\left(1-2i\right)}^2=-3-4i$$\Rightarrow \overline{\omega }=1+1-2i+3+4i=5+2i$.

Câu 4:          Cho số phức $z=2+5i$. Tìm số phức $\text{w}=iz+\overline{z}$.

Lời giải

Chọn A

$\begin{array}{l}\overline{z}=2-5i\\ \text{w}=iz+\overline{z}=i(2+5i)+2-5i=2i-5+2-5i=-3-3i.\end{array}$

Câu 5:          Cho hai số phức $z_1=1-i$ và $z_2=-3+5i$. Tìm phần thực của số phức $w=z_1.{\overline{z}}_2+z_2$.

Lời giải

ChọnA

Ta có: ${\overline{z}}_2=-3-5i\Rightarrow z_1.{\overline{z}}_2=\left(1-i\right)\left(-3-5i\right)=-8-2i$.

Khi đó: $w=-11+3i$.

Phần thực của w bằng -11.

Câu 6:          Tính môđun của số phức $z={\left(1-2i\right)}^2$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $z=-3-4i$.

Nên $\left|z\right|=5$.

Câu 7:          Số phức $T=1+i+i^2+\mathrm{...}+i^{10}$ có giá trị bằng

Lời giải

Chọn D

$T=1+i+i^2+\mathrm{...}+i^{10}=i$.

Câu 8:          Cho số phức $z=a+bi$ thỏa mãn ${\left(1-2i\right)}^2+z-6i=5+5i$. Giá trị của $a+b$ bằng

Lời giải

ChọnA

Ta có ${\left(1-2i\right)}^2+z-6i=5+5i$$\iff z=8+15i$

Mà $z=a+bi$ nên $\left\{\begin{array}{l}a=8\\ b=15\end{array}\right.$$\Rightarrow a+b=23$.

Câu 9:          Cho số phức z thỏa mãn $\left(3+i\right){\left(1-i\right)}^2=z-4i$. Tính $T={\left(z-2\right)}^2+{\left(4-z\right)}^2$.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$\left(3+i\right){\left(1-i\right)}^2=z-4i$$\Rightarrow z=2-10i$

Khi đó $T={\left(z-2\right)}^2+{\left(4-z\right)}^2$$=-4+8i$.

Câu 10:      Tìm hai số thực a và b thỏa mãn $2a+\left(b+i\right)i=1+2i$ với i là đơn vị ảo.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $2a+\left(b+i\right)i=1+2i$$\iff 2a-1+bi=1+2i$$\iff \left\{\begin{array}{l}2a-1=1\\ b=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right..$

Vậy $a=1$, $b=2$ là hai số cần tìm.

Câu 11:      Tìm tất cả các số thực x, y sao cho $x^2-1+yi=-1+2i$

Lời giải

Chọn C

Ta có $x^2-1+yi=-1+2i\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2-1=-1\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=0\\ y=2\end{array}\right.$.

Vậy $x=\mathrm{0,}y=2$.

Câu 12:      Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $z+2\overline{z}=6-4i$ với i là đơn vị ảo. Tìm phần ảo của số phức z.

Lời giải

Chọn B

Đặt $z=a+bi,a,b\in ℝ\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Ta có

$$\begin{gathered} z+2\overline{z}=6-4i\iff \left(a+bi\right)+2\left(a-bi\right)=6-4i\iff 3a-bi=6-4i \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3a=6\\ -b=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=4\end{array}\right. \end{gathered}$$.

Vậy phần ảo của số phức z bằng 4

d) Tổ chức thực hiện

4. Hoạt động 4: VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu: Giải quyết một số bài toán ứng dụng.

b) Nội dung

PHIẾU HỌC TẬP 2

Vận dụng 1:Tính giá trị của biểu thức chứa .

Bài toán 1: Tính $S=1009+i+2i^2+3i^3+\mathrm{...}+2017i^{2017}$.

A. $S=2017-1009i$  B. $1009+2017i$ C. $2017+1009i$  D. $1008+1009i$

Vận dụng 2:Tính giá trị của biểu thức chứa tổ hợp chập  của  phần tử

Bài toán 2: Giá trị của biểu thức

$C_{100}^0-C_{100}^2+C_{100}^4-C_{100}^6+\mathrm{...}-C_{100}^{98}+C_{100}^{100}$  bằng

A.$-2^{100}$.            B.$-2^{50}$.                 C.$2^{100}$.                          D.$2^{50}$.

Vận dụng 3: Tìm biểu diễn hình học của số phức

Bài toán 3. Cho số phức z thỏa mãn $\left(z-2+i\right)\left(\overline{z}-2-i\right)=25$. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $w=2\overline{z}-2+3i$ là đường tròn tâm $I\left(a;b\right)$ và bán kính R. Tính diện tích của hình tròn.

A.$10\pi$.             B.-17.             C.$100\pi$.                       D.$-100$.

Vận dụng 4:Bài toán tìm môđun của số phức

Bài toán 4: Xét số phức z thỏa mãn $\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\left|z\right|<\frac{1}{2}$.              B. $\left|z\right|>2$.         C. $\frac{3}{2}<\left|z\right|<2$.      D. $\frac{1}{2}<\left|z\right|<\frac{3}{2}$.

c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh

d) Tổ chức thực hiện

*Hướng dẫn làm bài

Vận dụng 1:Tính giá trị của biểu thức chứa .

Bài toán 1: Tính $S=1009+i+2i^2+3i^3+\mathrm{...}+2017i^{2017}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có

$S=1009+i+2i^2+3i^3+4i^4+\mathrm{...}+2017i^{2017}$

$\begin{array}{l}=1009+\left(4i^4+8i^8+\mathrm{...}+2016i^{2016}\right)+\left(i+5i^5+9i^9+\mathrm{...}+2017i^{2017}\right)+\\ +\left(2i^2+6i^6+10i^{10}+\mathrm{...}+2014i^{2014}\right)+\left(3i^3+7i^7+11i^{11}+\mathrm{...}+2015i^{2015}\right)\end{array}$

$=1009+\sum _{n=1}^{504}\left(4n\right)+i\sum _{n=1}^{505}\left(4n-3\right)-\sum _{n=1}^{504}\left(4n-2\right)-i\sum _{n=1}^{504}\left(4n-1\right)$

$=1009+509040+509545i-508032-508536i$$=2017+1009i.$

Vận dụng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa tổ hợp chập k của n phần tử

Bài toán 2: Giá trị của biểu thức $C_{100}^0-C_{100}^2+C_{100}^4-C_{100}^6+\mathrm{...}-C_{100}^{98}+C_{100}^{100}$  bằng

Lờigiải

ChọnB

Ta có

${\left(1+i\right)}^{100}=C_{100}^0+i{C}_{100}^1+i^2{C}_{100}^2+i^3{C}_{100}^3+\mathrm{...}+i^{99}.C_{100}^{99}+i^{100}{C}_{100}^{100}$$=\left(C_{100}^0-C_{100}^2+C_{100}^4-\mathrm{...}+C_{100}^{100}\right)+\left(C_{100}^1-C_{100}^3+C_{100}^5-C_{100}^{99}\right)i$.

Mặt khác ${\left(1+i\right)}^{100}={\left[{\left(1+i\right)}^2\right]}^{50}$$={\left(2i\right)}^{50}$$=-2^{50}$.

Vậy $C_{100}^0-C_{100}^2+C_{100}^4-C_{100}^6+\mathrm{...}-C_{100}^{98}+C_{100}^{100}=-2^{50}$.

Vận dụng 3: Tìm biểu diễn hình học của số phức

Bài toán 3. Cho số phức z thỏa mãn $\left(z-2+i\right)\left(\overline{z}-2-i\right)=25$. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $w=2\overline{z}-2+3i$ là đường tròn tâm $I\left(a;b\right)$ và bán kính R. Tính diện tích của hình tròn.

Lời giải

Chọn C

Giả sử $z=a+bi$$\left(a;b\in ℝ\right)$ và $w=x+yi$$\left(x;y\in ℝ\right)$.

$\left(z-2+i\right)\left(\overline{z}-2-i\right)=25\iff \left[a-2+\left(b+1\right)i\right]\left[a-2-\left(b+1\right)i\right]=25$

$\iff {\left(a-2\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2=25$ (1)

Theo giả thiết:

$w=2\overline{z}-2+3i\iff x+yi=2\left(a-bi\right)-2+3i\iff x+yi=2a-2+\left(3-2b\right)i$.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2a-2\\ y=3-2b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{x+2}{2}\\ b=\frac{3-y}{2}\end{array}\right.$ (2).

Thay (2) vào (1) ta được:

${\left(\frac{x+2}{2}-2\right)}^2+{\left(\frac{3-y}{2}+1\right)}^2=25\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=100$.

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm $I\left(2;5\right)$ và bán kính $R=10$.

Vậy diện tích của hình tròn là $S=\pi .R^2=100\pi$.

Vận dụng 4: Bài toán tìm môđun của số phức

Bài toán 4: Xét số phức z thỏa mãn $\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lờigiải

ChọnD

Ta có $z^{-1}=\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\overline{z}$.

Vậy $\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i$$\iff \left(\left|z\right|+2\right)+\left(2\left|z\right|-1\right)i=\left(\frac{\sqrt{10}}{{\left|z\right|}^2}\right).\overline{z}$.

$\Rightarrow {\left(\left|z\right|+2\right)}^2+{\left(2\left|z\right|-1\right)}^2=\left(\frac{10}{{\left|z\right|}^4}\right).{\left|z\right|}^2=\frac{10}{{\left|z\right|}^2}$ Đặt ${\left|z\right|}^2=a>0$.

$\Rightarrow {\left(a+2\right)}^2+{\left(2a-1\right)}^2=\left(\frac{10}{a^2}\right)$$\iff a^4+a^2-2=0$$\iff \left[\begin{array}{l}{a}^2=1\\ a^2=-2\end{array}\right.$$\Rightarrow a=1\Rightarrow \left|z\right|=1$.

Ngày   ......   tháng   .......    năm 2021

                                                                                        TTCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Giáo án Số phức

Giáo án Phép chia số phức

Giáo án Phương trình bậc hai với hệ số thực

Giáo án Ôn tập chương 4

Giáo án Ôn tập cuối năm