Giáo án Hệ tọa độ trong không gian mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Trường:…………………………….. Tổ: TOÁN Ngày soạn: …../…../2021 Tiết:

Họ và tên giáo viên: …………………………… Ngày dạy đầu tiên:……………………………..

 

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - HH: 12

Thời gian thực hiện: ..... tiết

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Biết được hệ tọa độ trong không gian

- Hiểu được định nghĩa tọa độ của vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (tổng và hiệu của hai vectơ, tích của một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ).

- Hiểu được định nghĩa tọa độ của điểm trong không gian, tọa độ của vec tơ khi biết tọa độ điểm đầu điểm cuối, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác.

- Biết định nghĩa phương trình mặt cầu.

2. Năng lực

+ Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ, thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và khắc phục sai sót.

+ Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo: Biết tiếp cận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

+ Năng lực tư duy và lập luận toán học: Giải thích được các tính chất về tọa độ của các phép toán cộng, trừ, phép nhân vec tơ với một số. Chứng minh được công thức tính tọa độ của vec tơ khi biết tọa độ điểm đầu điểm cuối.

+ Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Xác định được tọa độ của các phép toán vec tơ, công thức tính tích vô hướng của hai vec tơ dựa vào tọa độ. Tính được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác. Lập được công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Lập được phương trình mặt cầu dựa vào định nghĩa.

+ Năng lực giao tiếp: Trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận để xác định được yêu cầu thích hợp trong sự tương tác với bạn cùng nhóm và trước lớp. Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

+ Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của bài học.

+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Phát biểu được chính xác định nghĩa tọa độ của véc tơ, của phép toán vec tơ; phát biểu các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm…

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

    Kế hoạch bài dạy, phiếu học tập, máy chiếu, bảng phụ...

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC   

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

- Mục tiêu:

            + Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới.

            + Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm "Hệ tọa độ trong không gian".

- Nội dung: GV trình chiếu, giới thiệu một số hình ảnh trong thực tế liên quan đến hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian. HS trả lời câu hỏi của GV, từ đó thấy được nhu cầu phải tìm hiểu kiến thức mới.

- Sản phẩm: Các phương án giải quyết được ba câu hỏi đặt ra ban đầu.

- Tổ chức thực hiện:

Chuyển giao nhiệm vụ	L1: Các em hãy quan sát các hình ảnh sau (máy chiếu) L2: Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học) và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ. H1. Nhìn vào bàn cờ vua,  làm sao để xác định vị trí các quân cờ?    H2. Một tòa nhà chung cư 36 tầng ở Honolulu, Hawai đang bốc cháy. Cảnh sát cứu hỏa sẽ tiếp cận từ bên ngoài. Hỏi cảnh sát làm cách nào để xác định vị trí các phòng cháy? H3 Cho hình chóp OABC có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. M là trung điểm của cạnh AB. Biết$OA=2cm,OB=4cm$ . Chọn mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ. Hãy xác định tọa độ của các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy . a. ĐiểmA     b. ĐiểmB   c. ĐiểmC      d. ĐiểmD .
Thực hiện nhiệm vụ	- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Viết kết quả vào bảng phụ.                                      - Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.
Báo cáo, thảo luận	- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. - HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. - HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. - GV quan sát, lắng nghe, ghi chép.
Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập	- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo. - GV chốt: Để xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng ta dùng hệ tọa độ vuông góc Oxy. Bây giờ để xác định vị trí của một điểm trong không gian thì hệ tọa độ vuông góc Oxy không giải quyết được. Vì vậy hôm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu nội dung bài “ Hệ tọa độ trong không gian”

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ

1. HĐ1. Hệ tọa độ

a) Mục tiêu: Biết khái niệm hệ toạ độ trong không gian và các định nghĩa có liên quan.

b) Nội dung: GV nêu khái niệm hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy và minh họa hệ tọa độ trong không gian Oxyz trên máy chiếu.

H1: Đọc SGK và nêu khái niệm hệ tọa độ trong không gian Oxyz.

H2: Nêu đặc điểm của các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

c) Sản phẩm:

1. Hệ tọa độ

+ Trong không gian cho ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz. Hệ ba trục nói trên được gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz trong kgông gian gọi tắt là hệ toạ độ Oxyz.

+ O : gốc tọa độ

+ Ox, Oy,Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung, trục cao.

+ (Oxy), (Oxz), (Oyz) là các mặt phẳng tọa độ.

+ ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	- GV trình chiếu hình vẽ 3.1 SGK, giao nhiệm vụ cho cả lớp đọc sách tìm hiểu kiến thức mới. - HS trả lời các câu hỏi của giáo viên.
Thực hiện	- GV theo dõi, gọi HS trả lời, tổ chức cho các HS còn lại nhận xét - HS độc lập nghiên cứu SKG và trả lời các câu hỏi của GV; nhận xét câu trả lời của HS khác.
Báo cáo thảo luận	- HS nêu khái niệm hệ tọa độ trong không gian và những đặc điểm của các vectơ đơn vị. - GV gọi 1 HS nêu khái niệm hệ tọa độ trong không gian và gọi 1 HS khác nhận xét/bổ sung. - HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét câu trả lời của các học sinh. - Chốt kiến thức về hệ tọa độ trong không gian.

2. HĐ2. Tọa độ của một điểm và tọa độ của vectơ

a) Mục tiêu: Biết khái niệm toạ độ của một điểm, toạ độ của một vectơ.

b) Nội dung: Thể hiện hình minh họa.

H1: Nhận xét về tính đồng phẳng của các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$

H2: Với điểm M bất kỳ trong không gian, có bao nhiêu cách phân tích vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$?

H3: Đọc SGK, nêu định nghĩa tọa độ của một điểm.

H4: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ các điểm A,B biết $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}$.

H5: Cho vectơ $\overrightarrow{a}$, có bao nhiêu cách vectơ $\overrightarrow{a}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$?

H6: Nêu định nghĩa tọa độ của vectơ.

H7: Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.

a.       Xác định tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

b.      Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{e}=3\overrightarrow{a}$.

H8: Nhận xét quan hệ giữa tọa độ điểm M và tọa độ vectơ $\overrightarrow{OM}$.

c) Sản phẩm:

2. Tọa độ của một điểm

+ Cho điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Bộ ba số $\left(x;y;z\right)$ được gọi là tọa độ của điểm M khi $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ và được ký hiệu là $M=\left(x;y;z\right)$ hoặc $M\left(x;y;z\right)$.

+ Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ các điểm A,B biết $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}$.

Trả lời

            $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}\iff A\left(2;-3;5\right)$.

            $\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}=3\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}\iff B\left(3;0;2\right)$.

3. Tọa độ của vectơ

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}$ trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Bộ ba số $\left(x;y;z\right)$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ khi $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ và được ký hiệu là $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ hoặc $\overrightarrow{a}\left(x;y;z\right)$.

+ Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$

c.       Xác định tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

d.      Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{e}=3\overrightarrow{a}$.

Trả lời

a.       $\overrightarrow{a}=\left(4;1;-2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(0;2;3\right)$.

b.      $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\iff \overrightarrow{c}=\left(4;3;1\right)$.

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}\iff \overrightarrow{d}=\left(4;-1;-5\right)$.

$\overrightarrow{e}=3\overrightarrow{a}=12\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-6\overrightarrow{k}\iff \overrightarrow{e}=\left(12;3;-6\right)$.

+ Nhận xét: Tọa độ điểm M là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	- GV trình chiếu hình vẽ 3.2 SGK, giao nhiệm vụ cho cả lớp đọc sách tìm hiểu kiến thức mới. - HS thảo luận theo nhóm 2 bạn cùng bàn, trả lời các câu hỏi của GV.
Thực hiện	- GV theo dõi, gọi HS trả lời, tổ chức cho HS ở nhóm khác nhận xét - HS nghiên cứu SKG, thảo luận theo nhóm 2 bạn cùng bàn, trả lời các câu hỏi của GV, nhận xét câu trả lời của HS nhóm khác.
Báo cáo thảo luận	- HS nêu khái niệm tọa độ của một điểm, tọa độ của một vectơ. - Ví dụ 1: Tọa độ các điểm: $A\left(2;-3;5\right)$, $B\left(3;0;2\right)$. - Ví dụ 2: a.       $\overrightarrow{a}=\left(4;1;-2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(0;2;3\right)$. b.      $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\iff \overrightarrow{c}=\left(4;3;1\right)$. $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}\iff \overrightarrow{d}=\left(4;-1;-5\right)$. $\overrightarrow{e}=3\overrightarrow{a}=12\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-6\overrightarrow{k}\iff \overrightarrow{e}=\left(12;3;-6\right)$. - Các nhóm nhận xét quan hệ giữa tọa độ điểm M và tọa độ vectơ $\overrightarrow{OM}$ - Các nhóm khác nhận xét câu trả lời.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét tinh thần và độ chính xác trong câu trả lời của các nhóm được mời trả lời. - Chốt kiến thức về tọa độ của một điểm, tọa độ vectơ.

II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

HĐ3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

a) Mục tiêu:

+ Nắm được biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ; thực hiện thành thạo các phép toán vectơ trong hệ tọa độ .

+ Nắm được điều kiện để hai vectơ bằng nhau, điều kiện để hai vectơ cùng phương.

+ Tính được tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ khi biết tọa độ điểm A và B.

+ Tìm được tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

b) Nội dung: GV tổ chức nhận xét từ Ví dụ 2 từ đó đưa ra kiến thức mới.

H1: Từ Ví dụ 2.b, hãy tìm công thức tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},k\overrightarrow{a}$ khi biết $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$.

H2: Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng nhau thì tọa độ của chúng có quan hệ gì?

H3: Tìm tọa độ của vectơ-không.

H4: Với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$, tìm điều kiện để hai vectơ  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương.

H5: Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$, hãy tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ từ đó suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.

H6: Gọi M là trung điểm của AB, tìm quan hệ giữa vectơ $\overrightarrow{OM}$ với hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ từ đó xây dựng công thức tính tọa độ điểm M.

c) Sản phẩm:

1. Định lý (SGK trang 64)

2. Hệ quả (SGK trang 65)

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	- GV nêu nội dung các câu hỏi. - HS thảo luận theo nhóm 2 bạn cùng bàn.
Thực hiện	- GV theo dõi, quan sát phần trả lời của các nhóm. - HS thảo luận và ghi kết quả ra giấy A4
Báo cáo thảo luận	- HS chứng mình biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. - HS chứng minh các nhận xét. - Các nhóm khác nhận xét phần trả lời.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét câu trả lời của các học sinh. - Chốt kiến thức về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.

III. TÍCH VÔ HƯỚNG

HĐ4. Biểu thức tọa độ và ứng dụng của tích vô hướng

a) Mục tiêu:

+ Nắm được biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

+ Ứng dụng của tích vô hướng trong việc: tính độ dài một vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính côsin góc giữa hai vectơ.

b) Nội dung: Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm 2 bạn cùng bàn trả lời các câu hỏi

H1: Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Hãy biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ theo ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$. Từ đó tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ theo $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$.

H2: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$, từ đó suy ra công thức tính độ dài của một vectơ.

H3: Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$, suy ra công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

H4: Nêu lại biểu thức định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Từ đó rút ra công thức tính côsin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

H5: Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;0;1\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(2;1;-1\right)$. Hãy tính $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$.

c) Sản phẩm:

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng (SGK trang 65)

2. Ứng dụng (SGK trang 66)

+ Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;0;1\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(2;1;-1\right)$. Hãy tính $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$.

Giải

           Ta có: $\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}=\left(4;1;-4\right)$.

           Suy ra: $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)=3.4+0.1+1.\left(-4\right)=8$.

           Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(4;-1;-1\right)$.

           Suy ra: $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=3\sqrt{2}$.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	- GV nêu các câu hỏi gợi ý. - HS thảo luận chứng minh các công thức. - GV nêu nội dung các hoạt động (Ví dụ 3 và Ví dụ 4) - HS thảo luận theo nhóm 2 bạn cùng bàn và hoàn thành vào giấy A4.
Thực hiện	- GV theo dõi, quan sát phần trả lời của các nhóm. - HS thảo luận và ghi kết quả ra giấy A4
Báo cáo thảo luận	- HS chứng mình biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng. - Các nhóm khác nhận xét phần nhận xét và chứng minh. - HS thực hiện VD3, VD4 theo nhóm 2 bạn cùng bàn và hoàn thành vào giấy A4.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét câu trả lời của các học sinh. - Chốt kiến thức về biểu thức tọa độ của tích vô hướng và ứng dụng, kiểm tra, nhận xét và đưa ra đáp án chính xác cho VD3, VD4.

IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

HĐ5. Phương trình mặt cầu

a) Mục tiêu:

+ Nắm được các dạng phương trình của mặt cầu.

+ Xác định được tâm và bán kính của một mặt cầu khi biết phương trình của nó.

+ Biết điều kiện để một phương trình là phương trình của một mặt cầu.

b) Nội dung: Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm 2 bạn cùng bàn trả lời các câu hỏi

H1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I\left(a;b;c\right)$ và số dương r. Hãy tìm điều kiện để điểm $M\left(x;y;z\right)$ nằm trên mặt cầu (S) tâm I có bán kính r.

H2: Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu tâm $I\left(2;-1;3\right)$ có bán kính r=4.

H3: Ví dụ 5: Chỉ ra tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) có phương trình

${\left(x+1\right)}^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=3$.

H4: Cho mặt cầu (S) tâm $I\left(a;b;c\right)$ có bán kính r. Đặt $d=a^2+b^2+c^2-r^2$. Nhận xét dấu của biểu thức $a^2+b^2+c^2-d$. Từ đó rút ra điều kiện để phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình của một mặt cầu. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

            H5: Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  cho phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+6z+4=0$ (*).

a.       Phương trình (*) có phải là phương trình của một mặt cầu không?

b.      Nếu (*) là phương trình của một mặt cầu, xác định tọa độ tâm và tính bán kính của nó.

c) Sản phẩm:

1. Định lí (SGK trang 66)

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu tâm $I\left(2;-1;3\right)$ có bán kính r=4.

Giải

           Phương trình mặt cầu là: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=16$.

Ví dụ 5: Chỉ ra tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) có phương trình

${\left(x+1\right)}^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=3$.

Giải

           Mặt cầu (S) có tâm $I\left(-1;0;2\right)$ và bán kính $r=\sqrt{3}$.

2. Nhận xét (SGK trang 67)

Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-r^2$. Người ta chứng minh được rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu khi $a^2+b^2+c^2-d>0$, khi đó mặt cầu có tâm $I\left(a;b;c\right)$ và bán kính $r=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình

$x^2+y^2+z^2-4x+6z+4=0$ (*).

a. Phương trình (*) có phải là phương trình của một mặt cầu không?

b. Nếu (*) là phương trình của một mặt cầu, xác định tọa độ tâm và tính bán kính của nó.

Giải

a.Từ (*) ta xác định được: $a=2;b=0;c=-3;d=4$.

Khi đó: $a^2+b^2+c^2-d=9>0$.

Vậy (*) là phương trình của một mặt cầu.

b.Tâm $I\left(2;0;-3\right)$, bán kính r=3.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	- GV nêu các câu hỏi. - HS thảo luận xây dựng phương trình mặt cầu - GV nêu nội dung các hoạt động (Ví dụ 5, 6 và Ví dụ 7) - HS thảo luận theo nhóm 2 bạn cùng bàn và hoàn thành vào giấy A4.
Thực hiện	- GV theo dõi, quan sát phần trả lời của các nhóm. - HS thảo luận và ghi kết quả ra giấy A4
Báo cáo thảo luận	- HS xây dựng điều kiện để điểm $M\left(x;y;z\right)$ nằm trên mặt cầu (S) tâm $I\left(a;b;c\right)$ có bán kính r. - Các nhóm khác nhận xét phần nhận xét. - HS thảo luận theo nhóm 2 bạn cùng bàn, thực hiện VD5, VD6, VD7 và hoàn thành vào giấy A4.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét câu trả lời của các học sinh. - Chốt kiến thức về phương trình đường tròn, điều kiện để một phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình của một đường tròn. - Đưa ra đáp án chính xác cho các ví dụ 5, 6, 7.

3. HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Học sinh biết áp dụng các kiến thức về hệ tọa độ trong không gian, biểu thức tọa độ các phép toán vectơ và tích vô hướng, ứng dụng vào các bài tập cụ thể.

b) Nội dung:

PHIẾU HỌC TẬP 1

Câu 1.           Cho các vectơ $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2;u_3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(v_1;v_2;v_3\right)$, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ khi và chỉ khi

A. $u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3=1$.                B. $u_1+v_1+u_2+v_2+u_3+v_3=0$.

C. $u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3=0$.                 D. $u_1{v}_2+u_2{v}_3+u_3{v}_1=-1$.                    

Câu 2.           Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;2\right)$, độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là

A. $\sqrt{6}$.          B. 2.                 C. $-\sqrt{6}$.                       D. 4.               

Câu 3.           Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(3;0;-1\right)$, $\overrightarrow{c}=\left(-2;5;1\right)$, vectơ $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ có tọa độ là

A. $\left(6;0;-6\right)$.         B. $\left(-6;6;0\right)$.      C. $\left(6;-6;0\right)$.          D. $\left(0;6;-6\right)$.

Câu 4.           Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-2;0;1\right)$, $\overrightarrow{c}=\left(-1;0;1\right)$. Tìm  tọa độ của vectơ  $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{i}$.

A. $\overrightarrow{n}=\left(6;2;6\right)$.     B. $\overrightarrow{n}=\left(6;2;-6\right)$.   C. $\overrightarrow{n}=\left(0;2;6\right)$.     D. $\overrightarrow{n}=\left(-6;2;6\right)$.

Câu 5.           Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(2;2;-1\right)$, $\overrightarrow{c}=\left(4;0;-4\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$ là

A. $\overrightarrow{d}=\left(-7;0;-4\right)$.              B. $\overrightarrow{d}=\left(-7;0;4\right)$. 

C. $\overrightarrow{d}=\left(7;0;-4\right)$.                 D. $\overrightarrow{d}=\left(7;0;4\right)$.

Câu 6.           Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;-2;-4\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(1;-1;1\right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(3;-3;-3\right)$.                                         B. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

C. $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}$.                                                           D. $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

Câu 7.           Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;1;-1\right)$ và $B\left(2;3;2\right)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

A. $\left(1;2;3\right)$.           B. $\left(-1;-2;3\right)$.       C. $\left(3;5;1\right)$.          D. $\left(3;4;1\right)$.

Câu 8.           Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;-3;1\right)$ và $B\left(3;0;-2\right)$. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. 26.               B. 22.               C. $\sqrt{26}$.                        D. $\sqrt{22}$.

Câu 9.           Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;2;0\right)$, $B\left(-1;1;3\right)$, $C\left(0;-2;5\right)$. Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A. $D\left(-2;5;0\right)$.        B. $D\left(1;2;3\right)$.        C. $D\left(1;-1;6\right)$.          D. $D\left(0;0;2\right)$.

Câu 10.       Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M\left(1;1;1\right)$, $N\left(2;3;4\right)$, $P\left(7;7;5\right)$. Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

A. $Q\left(-6;5;2\right)$.     B. $Q\left(6;5;2\right)$.       C. $Q\left(-6;-5;-2\right)$.       D. $Q\left(6;-5;2\right)$.

c) Sản phẩm: Học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của nhóm mình.

d) Tổ chức thực hiện

e. Đáp án

4. HOẠT ĐỘNG 4:  VẬN DỤNG

a) Mục tiêu:

- Học sinh có thể xác định tọa độ của điểm, của vectơ, từ đó áp dụng vào các bài toán tính thể tích hay khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau, …

- Chỉ ra ứng dụng của hệ trục trong cuộc sống.

b) Nội dung

Vận dụng 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Có đỉnh A' trùng với gốc O, $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$, $\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$, $\overrightarrow{A^{\text{'}}A}$ theo thứ tự cùng hướng với $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ và có AB=a, AD=b, AA'=c Hãy tính toạ độ các điểm A, B, C, C' và cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD'.

Vận dụng 2: Chứng minh rằng: $\left|\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Vận dụng 3: Giới thiệu về máy phay CNC.

Trục Ox, Oy là các bàn máy có nhiệm vụ dịch chuyển vật sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới, ra, vào,… trục Oz là một lưỡi dao. Khi 3 trục chuyển động thì lưỡi dao trên trục Oz có tác dụng tạo ra hình dạng vật như mong muốn.

c) Sản phẩm: Học sinh thấy được mối liên hệ toán học với thực tế.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	GV: Gọi học sinh lên bảng trình bày theo tinh thần xung phong. HS: Nhận nhiệm vụ.
Thực hiện	HS thực hiện nghiên cứu và làm bài.
Báo cáo thảo luận	HS trình bày.  Học sinh khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốtt. - Chốt kiến thức tổng thể trong bài học. - Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.

Hướng dẫn làm bài

+ Vận dụng 1:

Vẽ hình trên hệ trục tọa độ:

Ta có: $A^{\text{'}}\left(0;0;0\right)$, $A\left(0;0;c\right)$, $B\left(a;0;c\right)$, $C\left(a;b;c\right)$, $C^{\text{'}}\left(a;b;0\right)$.

Có $D^{\text{'}}\left(0;b;0\right)$.

$\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right)$, $\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}=\left(-a;0;-c\right)$.

Suy ra

$\cos \left(\widehat{AB,C{D}^{\text{'}}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}\right)\right|=\left|\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}\right|}\right|$$=\left|\frac{-a^2}{\sqrt{a^2}.\sqrt{a^2+c^2}}\right|=\frac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}$.

+ Vận dụng 2:

Xét $\left[\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\end{array}\right.$ (hiển nhiên đẳng thức đúng).

Nếu $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right.$ khi đó

$\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|.\sqrt{1-{\cos }^2\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)}$

$=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|.\sqrt{1-\frac{{\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}}=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2-{\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2}$$=\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right)-{\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3\right)}^2}$$=\left|\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\right|$

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Giáo án Phương trình mặt phẳng

Giáo án Phương trình đường thẳng trong không gian

Giáo án Ôn tập chương 3

Giáo án Ôn tập cuối năm

Giáo án Số phức