Giáo án Phương trình bậc hai với hệ số thực mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 12

Thời gian thực hiện: ....... tiết

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

 - Xây dựng căn bậc hai của số thực âm .

 - Biết cách giải một số phương trình bậc hai với hệ số thực.

- Bước đầu nắm được định lí cơ bản của Đại số học.

2. Năng lực

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

 Giáo viên

- Hệ thống câu hỏi các kiến thức bài học; máy chiếu.

- Chọn lọc bài tập thông qua các phiếu học tập.

- PP dạy học nhóm; PP giải quyết vấn đề

Học sinh

-Tìm hiểu trước trước bài học.

- Chuẩn bị bảng phụ, bảng nhóm, bút viết bảng, máy tính cầm tay.

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn. Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC    

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

Mục tiêu: Giúp cho HS thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu căn bậc hai số thực âm và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI.

1. Căn bậc hai của số thực âm

HĐ1. Căn bậc hai của số thực âm

a) Mục tiêu: HS hiểu được khái niệm căn bậc hai của một số thực âm và biết cách tính căn bậc hai của một số thực âm.

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, trả lời các câu hỏi sau:

H1: Tìm căn bậc hai của số thực $a>0$ ?

H2: HS suy nghĩ tìm xem có căn bậc hai của số thực $a<0$ ? Đồng thời thực hiện

Ví dụ 1: Tìm x  sao cho $x^2=-1$ ?

H3: Vậy số thực $a<0$ có căn bậc hai không? Áp dụng thực hiện

Ví dụ 2: Tìm căn bậc hai của các số $-2;-\frac{5}{3};-\mathrm{7,}-100$ ?

H4: Nêu công thức tìm căn bậc hai của số thực âm a ?

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

HĐ2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

a) Mục tiêu:Giúp HS biết được cách giải và giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với $△$

b) Nội dung: 

H5: GV yêu cầu HS nhắc lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0\left(a,b,c\in ℝ,a\ne 0\right)$ ?

H6: Trong tập hợp số phức trường hợp $\Delta <0$  thì $\Delta$  có căn bậc hai hay không? Tìm căn bậc hai của ?

H7: Trong tập hợp số phức trường hợp $\Delta <0$  thì phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0\left(a,b,c\in ℝ,a\ne 0\right)$có nghiệm hay không? Nghiệm bằng bao nhiêu?

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

III. HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP.

1. Mục tiêu:Củng cố lại cho học sinh các kiến thức về số phức, các phép toán trên số phức, giải phương trình bậc hai với hệ số thực .Giúp học sinh vận dụng việc tính căn bậc hai của số thực âm vào bài tập. Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực, đồng thời vận dụng giải các phương trình bậc lớn hơn hai với hệ số thực. Áp dụng làm các bài tập TH, VD và giải nhanh các bài tập trắc nghiệm.

2. Phương pháp/Kĩ thuật dạy học:Giao nhiệm vụ cho học sinh, yêu cầu học sinh thực hiện, theo dõi và giúp đỡ để học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ.

3. Hình thức tổ chức hoạt động:Giáo viên chia lớp thành 04 nhóm và phân công để học sinh thảo luận, sau đó trình bày lời giải cho từng bài toán. Sau khi học sinh trình bày, giáo viên sẽ sửa lỗi cho học sinh.

Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh làm các bài tập 1, 2, 3, 4 và các bài tập trắc nghiệm.

4. Phương tiện dạy học:Bảng phụ, viết lông, nam châm, phiếu bài tập.

5. Sản phẩm: Trình bày lời giải lên bảng phụ theo từng nhóm.

I. Tự luận:

Bài 1.Tìm các căn bậc hai của các số sau: -7 ; -8 ; -12; -20;-121

Bài 2. Giải các phương trình bậc hai sautrên tập số phức :

a)$-3z^2+2z-1=0.$     b)$7z^2+3z+2=0.$                  c)$5z^2-7z+11=0.$

Bài 3. Giải các phương trình bậc hai sau trên tập số phức :

a)$z^4+z^2-6=0.$        b)$z^4+7z^2+10=0.$

Bài 4. Cho $a,b,c\in R,a\ne \mathrm{0,}{z}_1,z_2$  là các nghiệm phương trình  $a{z}^2+bz+c=0.$  Hãy tính  $z_1+z_2$  và  $z_1.z_2$   theo các hệ số  $a,b,c$

II. Trắc nghiệm:

Nhóm 1:

Câu 1. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An -2019) Gọi $z_1$ ; $z_2$  là hai nghiệm của phương trình $z^2+2z+10=0$ . Tính giá trị biểu thức $A={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2$ .

A.$10\sqrt{3}$ .                 B.$5\sqrt{2}$ .                C.$2\sqrt{10}$ .                      D.20 .

Câu 2. (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình là $z^2-2z+5=0$:

 A.$1+2i$ .                 B.$-1+2i$ .               C.$-1-2i$ .                D.$1-2i$ .

Câu 3. (Mã101-2020Lần1) Gọi $z_0$  là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2+6z+13=0$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức  là

A.$N\left(-2;2\right)$ .          B.$M\left(4;2\right)$ .         C.$P\left(4;-2\right)$ .            D.$Q\left(2;-2\right)$ .

Câu 4. (Mã102-2020Lần1)Gọi là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2-6z+13=0$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $1-z_0$  là

A.$N\left(-2;2\right)$ .          B. $M\left(4;\text{-}2\right)$.       C.$P\left(4;2\right)$ .            D.$Q\left(-2;-2\right)$ .

Câu 5. (Mã103-2020Lần1) Cho $z_0$  là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2+4z+13=0$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức $1-z_0$  là

A.$P(-1;-3).$            B.$M(-1;3).$        C.$N(3;-3).$          D.$Q(3;3).$

Nhóm 2:

Câu 6. (Mã102-2020Lần2) Gọi $z_1$  và $z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-z+3=0$ . Khi đó $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$  bằng

A.$\sqrt{3}$ .                B.$2\sqrt{3}$ .                   C.6 .                             D.3 .

Câu 7. (Mã103-2020Lần2) Gọi $z_1$  và $z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-z+2=0$ . Khi đó $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$  bằng

A.2 .                   B.4 .                   C.$2\sqrt{2}$ .                         D.$\sqrt{2}$ .

Câu 8. (Mã104-2020Lần2) Gọi $z_1,z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+z+3=0$ . Khi đó $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$  bằng

A.3 .                       B. $2\sqrt{3}$               C.$\sqrt{3}$ .              D.6 .

Câu 9. (ĐềThamKhảo2020Lần2) Gọi $z_0$  là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^2-2z+5=0$ . Môđun của số phức $z_0+i$  bằng

A.2 .             B.$\sqrt{2}$ .                           C.$\sqrt{10}$ .                         D.10 .

Câu 10. (Mã1042017) Kí hiệu $z_1$ , $z_2$  là hai nghiệm của phương trình $z^2+4=0$. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1$ , $z_2$  trên mặt phẳng tọa độ. Tính $T=OM+ON$  với O là gốc tọa độ.

A.8                           B.4                                C.$\sqrt{2}$                      D.2

Nhóm 3:

Câu 11. (Mã1102017) Kí hiệu $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $3z^2-z+1=0$. Tính $P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$.

A.$P=\frac{2}{3}$                B.$P=\frac{\sqrt{3}}{3}$            C.$P=\frac{2\sqrt{3}}{3}$           D.$P=\frac{\sqrt{14}}{3}$

Câu 12. (Mã102-2019)Kí hiệu $z_1,z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-6\text{z}+14=0$ . Giá trị của ${z_1}^2+{z_2}^2$  bằng

A.36 .                B.8 .                              C.28 .                           D. 18.

Câu 13. (Mã104-2019)Gọi $z_1,z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-4z+7=0.$  Giá trị của $z_1^2+z_2^2$  bằng

A. 2.                                B. 8.                              C. 16.                            D. 10.

Câu 14. (ĐềThamKhảo2017)Kí hiệu $z_1;z_2$  là hai nghiệm của phương trình $z^2+z+1=0$ . Tính $P=z_1^2+z_2^2+z_1{z}_2$ .

A.2                           B.-1                       C.0                         D.1

Câu 15. (ĐềThamKhảo2019) Kí hiệu $z_1;z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $4z^2-4z+3=0$ . Giá trị của $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$  bằng:

A.10                         B.$2\sqrt{5}$ .                         C.$\sqrt{5}$ .               D.3 .

Nhóm 4:

Câu 16.    (ĐềThamKhảo2018) Gọi $z_1;z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $4z^2-4z+3=0$. Giá trị của biểu thức $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$  bằng:

A. $3\sqrt{2}$               B. $2\sqrt{3}$                   C.3                                D.$\sqrt{3}$

Câu 17.    (Mã103-2019) Gọi $z_1;z_2$  là 2 nghiệm phức của phương trình $4z^2-4z+5=0$. Giá trị của $z_1^2+z_2^2$  bằng

A. 16.                              B. 26.                C.6.                      D. 8.

Câu 18.    (Mã101-2019)Gọi $z_1;z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-6z+10=0$ . Giá trị của $z_1^2+z_2^2$  bằng:

A. 16                    B.56 .                            C.6                             D.8 .

Câu 19.    (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Gọi $z_1;z_2$  là hai nghiệm của phương trình $z^2+2z+10=0$ . Tính giá trị biểu thức $A={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2$.

A.$10\sqrt{3}$ .          B.$5\sqrt{2}$ .                         C.$2\sqrt{10}$ .                   D.20 .

Câu 20.    (ĐềMinhHọa2017)Kí hiệu $z_1;z_2,z_3;z_4$  là bốn nghiệm phức của phương trình $z^4-z^2-12=0$. Tính tổng $T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|+\left|z_4\right|$

A.$2+2\sqrt{3}$                B.4                          C.$2\sqrt{3}$                   D.$4+2\sqrt{3}$

IV. VẬN DỤNG, TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Hướng dẫn để học sinh có thể áp dụng việc giải phương trình bậc hai hệ số thực vào các bài toán giải phương trình bậc cao hơn, giải các bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình.

Câu 1.           Cho phương trình $z^2+bz+c=0$ , có hai nghiệm $z_1,z_2$  thỏa mãn $z_2-z_1=4+2i$ . Gọi A,B là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $z^2-2bz+4c=0$ . Tính độ dài đoạn AB.

A.$8\sqrt{5}.$         B.$2\sqrt{5}.$                   C.$4\sqrt{5}.$              D.$\sqrt{5}.$

Lời giải:                   

Chọn C

$z^2+bz+c=0$ có hai nghiệm $z_1,z_2$  thỏa mãn $z_2-z_1=4+2i$

Xét $z_2-z_1=4+2i\Rightarrow {\left(z_2+z_1\right)}^2-4z_1{z}_2={\left(4+2i\right)}^2\Rightarrow b^2-4c={\left(4+2i\right)}^2$

Khi đó phương trình $z^2-2bz+4c=0$

có 

$$\begin{gathered} {\Delta }^{\text{'}}=b^2-4c={\left(4+2i\right)}^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{z}_A=b-4-2i\Rightarrow A\left(b-4;-2\right)\\ z_B=b+4+2i\Rightarrow B\left(b+4;2\right)\end{array}\right. \\ \left(b=m+ni,m,n\in ℝ\right) \end{gathered}$$

Vậy   $AB=\sqrt{{\left(b+4-b+4\right)}^2+{\left(2+2\right)}^2}=4\sqrt{5}.$

Câu 2.           Gọi $z_1,z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-4z+5=0$. Giá trị của biểu thức ${\left(z_1-1\right)}^{2019}+{\left(z_2-1\right)}^{2019}$  bằng?

A.$2^{1009}$ .             B.$2^{1010}$ .                 C.0  .                            D.$-2^{1010}$ .

Lời giải

Chọn D

Ta có $z^2-4z+5=0$ $\iff \left[\begin{array}{l}z=2+i\\ z=2-i\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}z-1=1+i\\ z-1=1-i\end{array}\right.$ .

Mà $$\begin{gathered} i^2=-1;i^4=1;{\left(1+i\right)}^2=2i; \\ {\left(1+i\right)}^4=-4;{\left(1-i\right)}^2=-2i;{\left(1-i\right)}^4=-4; \end{gathered}$$

Suy ra

${\left(z_1-1\right)}^{2019}+{\left(z_2-1\right)}^{2019}$ $={\left({\left(1-i\right)}^4\right)}^{504}.{\left(1-i\right)}^2\left(1-i\right)+{\left({\left(1+i\right)}^2\right)}^{504}.{\left(1+i\right)}^2.\left(1+i\right)$

$$\begin{gathered} ={\left(-4\right)}^{504}.\left(-2i\right).\left(1-i\right)+{\left(-4\right)}^{504}.\left(2i\right).\left(1+i\right) \\ =4^{504}.2i.\left(-1+i+1+i\right)=4^{504}.2i.2i=-2^{1010} \end{gathered}$$.

Câu 3.           (SởGDKonTum2019)Gọi z là một nghiệm của phương trình $z^2-z+1=0$ . Giá trị của biểu thức $M=z^{2019}+z^{2018}+\frac{1}{z^{2019}}+\frac{1}{z^{2018}}+5$  bằng

A. 5.                    B.2.                       C. 7.                              D.-1  .

Lời giải

ChọnB

Phương trình $z^2-z+1=0$  có hai nghiệm $z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Chọn $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$.

Áp dụng công thức Moivre: ${\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)}^n=\cos \left(n\phi \right)+i\sin \left(n\phi \right)$ $\forall n\in \mathbb{N}$ , ta được:

$z^{2019}=\cos \frac{2019\pi }{3}+i\sin \frac{2019\pi }{3}=-1\Rightarrow \frac{1}{z^{2019}}=-1$.

$z^{2018}=\cos \frac{2018\pi }{3}+i\sin \frac{2018\pi }{3}=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{z^{2018}}=\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3}$.

Do đó, $M=-1-1+\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3}+5=2$ .

Vậy $M=2$ .

V. HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ

Nhấn mạnh:

– Cách tìm căn bậc hai của số thực âm.

– Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực.

Hoạt động 1

   Mục tiêu: HS sử dụng kiến thức về căn bậc hai của số thực âm, công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực và định lý Vi-ét để vận dụng vào bài tập.

   Nội dung, phương thức tổ chức 

Bài tập trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1.            Trong C, phương trình $2x^2+x+1=0$  có nghiệm là:

A.$x_1=\frac{1}{4}\left(-1-\sqrt{7}i\right);x_2=\frac{1}{4}\left(-1+\sqrt{7}i\right)$ .                 

B.$x_1=\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{7}i\right);x_2=\frac{1}{4}\left(1-\sqrt{7}i\right)$

C. $x_1=\frac{1}{4}\left(-1+\sqrt{7}i\right);x_2=\frac{1}{4}\left(1-\sqrt{7}i\right)$.                    

D.$x_1=\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{7}i\right);x_2=\frac{1}{4}\left(-1-\sqrt{7}i\right)$.

Câu 2.            Trong C, nghiệm của phương trình $z^3-8=0$  là :

A.$z_1=2;z_2=1+\sqrt{3}i;z_3=1-\sqrt{3}i$                           

B.$z_1=2;z_2=-1+\sqrt{3}i;z_3=-1-\sqrt{3}i$

C.$z_1=-2;z_2=-1+\sqrt{3}i;z_3=-1-\sqrt{3}i$                   

D.$z_1=-2;z_2=1+\sqrt{3}i;z_3=1-\sqrt{3}i$

Câu 3.            Trong C, phương trình $\left|z\right|+z=2+4i$ có nghiệm là:

A.$z=-3+4i$      B. $z=-2+4i$        C. $z=-4+4i$       D.$z=-5+4i$

Câu 4.            Hai giá trị $x_1=a+bi;x_2=a-bi$  là hai nghiệm của phương trình:

A.$x^2+2ax+a^2+b^2=0$                         B. $x^2+2ax+a^2-b^2=0$        

C.$x^2-2ax+a^2+b^2=0$                         D.$x^2-2ax+a^2-b^2=0$

Câu 5.            Trong C, phương trình $z^2-z+1=0$  có nghiệm là:

A.$\left[\begin{array}{l}z=3+5i\\ z=3-5i\end{array}\right.$  B.$\left[\begin{array}{l}z=\frac{2+\sqrt{3}i}{2}\\ z=\frac{2-\sqrt{3}i}{2}\end{array}\right.$    C.$\left[\begin{array}{l}z=\frac{1+\sqrt{5}i}{2}\\ z=\frac{1-\sqrt{5}i}{2}\end{array}\right.$  D.$\left[\begin{array}{l}z=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\\ z=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\end{array}\right.$

Câu 6.            Trong C, nghiệm của phương trình $z^2+\sqrt{5}=0$  là:

A. $\left[\begin{array}{l}z=\sqrt{5}\\ z=-\sqrt{5}\end{array}\right.$   B.$\left[\begin{array}{l}z=\sqrt[4]{5}i\\ z=-\sqrt[4]{5}i\end{array}\right.$     C. $\sqrt{5}i$                           D.$-\sqrt{5}i$

Câu 7.            Trong C, nghiệm của phương trình $z^2+4z+5=0$  là:

A. $z=2-i$          B. $z=-2-i$       C.$\left[\begin{array}{l}z=-2-i\\ z=-2+i\end{array}\right.$       D.$z=-2+i$

Câu 8.            Trong C, phương trình $z^4-6z^2+25=0$  có nghiệm là:

A.$\pm 8;\pm 5i$                                                          B. $\pm 3;\pm 4i$                    

C. $\pm 5;\pm 2i$                                                          D.$\pm \left(2+i\right);\pm \left(2-i\right)$

Câu 9.            Trong C, phương trình $z^3+1=0$  có nghiệm là:

A.$-1$ ; $\frac{2\pm i\sqrt{3}}{2}$    B.$-1$ ;  $\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$    C.$-1$ ;$\frac{1\pm i\sqrt{5}}{4}$    D. $-1$;$\frac{5\pm i\sqrt{3}}{4}$

Câu 10.        Trong C, phương trình $z^4-1=0$  có nghiệm là:

A $\pm 1;\pm 2i$              B.$\pm 2;\pm 2i$            C.$\pm 3;\pm 4i$          D.$\pm 1;\pm i$

Câu 11.        Trong C, căn bậc hai của -121 là:

A.$-11i$             B$11i$                  C.-11                 D. 11i và -11i

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Giáo án Số phức

Giáo án Cộng, trừ và nhân số phức

Giáo án Phép chia số phức

Giáo án Ôn tập chương 4

Giáo án Ôn tập cuối năm