Giáo án Tích phân mới nhất - Toán 12

Giáo án Toán 12 Bài 2: Tích phân

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 12

Thời gian thực hiện: ....... tiết

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

            Yêu cầu HS cần đạt

- Hiểu được cách tính diện tích hình thang cong.

- Hiểu được khái niệm tích phân của một hàm số.

- Nắm được các chú ý và tính chất của tích phân.

- Nắm được cách tính tích phân theo định nghĩa.

- Nắm được cách tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối.

- Nắm được cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần.

- Áp dụng các phương pháp tính tích phân hợp lí, giải quyết được các bài toán tích phân hàm đơn giản khác.

2. Năng lực

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự giác tìm hiểu, phân tích để lĩnh hội kiến thức mới và vận dụng vào giải quyết bài tập.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức thông qua trao đổi hoạt động nhóm; Có khả năng báo cáo, phản biện trước tập thể.

- Năng lực tư duy và giải quyết vấn đề: Biết tổng hợp, khái quát hóa từ các dạng toán nguyên hàm để áp dụng vào tính tích phân. Nhận biết, phân biệt công thức, phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể. Thấy được ứng dụng của tích phân trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê  khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh đọc và viết chính xác các kí hiệu của tích phân.

3. Phẩm chất

- Bồi dưỡng lòng yêu nước, tinh thần tự hào dân tộc.

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

* Thiết bị dạy học: Máy chiếu, máy tính cầm tay, bảng phụ.

* Học liệu: Kế hoạch bài dạy, giáo án, SGK, phiếu học tập...

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu:

- Niềm tự hào dân tộc, tạo sự tò mò, gây hứng thú cho học sinh về  “tính diện tích hình phẳng kín” trong thực tế.

- Học sinh nhớ lại các kiến thức về nguyên hàm.

- Bước đầu suy nghĩ, tìm tòi về tính tích phân.

b) Nội dung

- GV chiếu hình ảnh Hồ Gươm và ruộng bậc thang và đặt các câu hỏi

H1: E hãy cho biết đây là hồ nào của nước ta?Em có thể giới thiệu qua hiểu biết của em về hồ này không?

H2: Theo em người ta tính diện tích Hồ Gươm này như thế nào?

H3: Theo em người ta tính diện tích phần ruộng bậc thang được phủ lúa xanh mát trong hình như thế nào?

H4: Em hãy điền kết quả của các nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản?

c) Sản phẩm

            Câu trả lời của HS

TL1: Hồ Gươm (Hoàn Kiếm) tại thủ đô Hà Nội. Tên gọi Hoàn Kiếm chính thức xuất hiện vào đầu thế kỷ 15 gắn với truyền thuyết vua Lê Thái Tổ trả gươm báu cho Rùa thần sau khi mượn gươm chiến đấu, đánh tan giặc Minh, chính thức lên làm vua và gây dựng triều đại nhà Lê thịnh vượng.

TL2: Học sinh suy nghĩ và trả lời theo ý hiểu của bản thân.

TL3: Học sinh suy nghĩ và trả lời theo ý hiểu của bản thân.

TL4: Học sinh lên bảng thực hiện.

d) Tổ chức thực hiện

* Chuyển giao nhiệm vụ :GV chiếu hình ảnh và nêu câu hỏi cho HS

* Thực hiện:HS suy nghĩ độc lập 

* Báo cáo, thảo luận:

- GV gọi lần lượt 4 HS lên bảng trình bày câu trả lời của mình.

- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung.

* Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Đặt vấn đề vào bài: Để giúp các em hiểu được cách tính diện tích các hình vừa được chiếu chúng ta cùng đi tìm hiểu bài học hôm nay: “Bài 2: TÍCH PHÂN”

2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

HOẠT ĐỘNG  2.1.Hình thang cong

a) Mục tiêu: Học sinh hiểu được khái niệm hình thang cong

b)Nội dung

HS đọc sách giáo khoa và trả lời câu hỏi

H1. Em hiểu như thế nào là một hình thang cong?

GV nhận xét và kết luận về khái niệm hình thang cong

c) Sản phẩm:

1. Hình thang cong

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục, không đổi dấu trên đoạn $[a;b]$ . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ , trục hoành và hai đường thẳng x=a , x=b , được gọi là hình thang cong.

d) Tổ chức thực hiện

HOẠT ĐỘNG 2.2.Định nghĩa tích phân

a) Mục tiêu:Hình thành khái niệm tích phân

b) Nội dung:

GV cho HS đọc sách giáo khoa và đi đến định nghĩa tích phân

Trả lời các câu hỏi:

H1. Kết quả tích phân ${\int }_a^{a}f\left(x\right)dx$ ?

H2. Nêu mối quan hệ giữa hai tích phân ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ ,${\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$?

Gọi học sinh rút ra nhận xét về các tích phân trên

Giao nhiệm vụ cho học sinh vận dụng định nghĩa để làm các ví dụ

Ví dụ 1. Tính tích phân sau: $I_1={\int }_1^{2}xdx$          

Ví dụ 2. Tính tích phân sau:  $I_2={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos tdt$  

Nhận xét và rút ra ý nghĩa hình học của tích phân

c) Sản phẩm:

1. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x)  liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x)  là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b  của hàm số f(x)  trên đoạn [a;b]. Kí hiệu : ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.

Vậy : ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)|\begin{array}{c}b\\ a\end{array}=F(b)-F(a)$ .

${\int }_a^b$ : dấu tích phân

a: cận dưới, b: cận trên

Chú ý

${\int }_a^{a}f\left(x\right)dx$; ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$=$-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$

Ví dụ 1. $I_1={\int }_1^{2}xdx=\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}=\frac{3}{2}$

Ví dụ 2. $I_2={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos tdt=\sin t|\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ 0\end{array}=1$

Nhận xét.

a) Tích phân của một hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu biến số.

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(t\right)dt={\int }_a^{b}f\left(u\right)du$

b) Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) liên tục và không âm trên [a;b] thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là $S={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

d) Tổ chức thực hiện

HOẠT ĐỘNG 2.3.

II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

a) Mục tiêu:Hiểu và vận dụng được các tính chất của tích phân

b)Nội dung:

HS biết được các tính chất  thông qua nghiên cứu sách giáo khoa, vận dụng được tính chất để giải một số ví dụ giáo viên đưa ra

Ví dụ 1.Tính tích phân sau: $I_1={\int }_{-1}^{1}3x^{2}dx$

Ví dụ 2.Tính tích phân sau: $I_2={\int }_1^e\frac{2x-1}{x}dx$

Ví dụ 3.Tính tích phân sau: $I_3={\int }_0^3\left|x-2\right|dx$

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

HOẠT ĐỘNG 2.4. Phương pháp đổi biến số

a) Mục tiêu:Giới thiệu cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, học sinh hiểu và áp dụng làm được ví dụ.

b)Nội dung

GV cho học sinh nghiên cứu định lý ở SGK, chia thành 2 nhóm trả lời hai câu hỏi

H1. Áp dụng định lý, để tính $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$  ta đổi biến x=u(t)  và thực hiện các bước như thế nào?

H2. Để tính tích phân $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ , nếu $f\left(x\right)=g\left[u\right(x\left)\right].u\text{'}\left(x\right)$, ta có thể thực hiện phép đổi biến như thế nào?

Từ đó GV dẫn dắt để đi đến hai phương pháp đổi biến loại 1 và đổi biến loại 2.

GV chú ý một số dạng thường dùng khi đổi biến loại 1 và loại 2.

Ví dụ 1.Tính tích phân sau:  $I_1={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$

Ví dụ 2.Tính tích phân sau: $I_2={\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx$

c) Sản phẩm:

Phương pháp đổi biến số loại 1

Giả sử cần tính $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$  ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Đặt x=u(t) (với u(t) là hàm có đạo hàm liên tục trên $[\alpha ;\beta ]$, f(u(t)) xác định trên $[\alpha ;\beta ]$  và $u\left(\alpha \right)=a,u\left(\beta \right)=b$)  và $a\le u\left(t\right)\le b$ .

Bước 2: Thay vào ta có: $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\beta }^{\alpha }f\left(u\right(t\left)\right).u\text{'}\left(t\right)dt$ .

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa $\sqrt{a^2-b^2{x}^2}$  ta thường đặt $x=\frac{a}{b}\sin t$,(a>0,b>0)

 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa $\sqrt{b^2{x}^2-a^2}$  ta thường đặt $x=\frac{a}{b\sin t}$ ,(a>0,b>0)

 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa $a^2+b^2{x}^2$  ta thường đặt $x=\frac{a}{b}\tan t$ ,(a>0,b>0)

 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa $\sqrt{x(a-bx)}$  ta thường đặt $x=\frac{a}{b}{\sin }^{2}t$ ,(a>0,b>0)

Phương pháp đổi biến số loại 2

    Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau.

   Để tính tích phân $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ , nếu $f\left(x\right)=g\left[u\right(x\left)\right].u\text{'}\left(x\right)$ , ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau

d) Tổ chức thực hiện

HOẠT ĐỘNG 2.5. Phương pháp tích phân từng phần

a) Mục tiêu:HS hiểu được cách tính tích phân bằng phương pháp tính tích phân từng phần, áp dụng để giải các ví dụ.

b)Nội dung

Tương tự phương pháp nguyên hàm từng phần, và dựa vào định nghĩa tích phân, GV gọi học sinh nêu cách tính tích phân $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv$ ?

Áp dụng làm các ví dụ

c) Sản phẩm:

Ví dụ 1.Tính tích phân sau: $I_1={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\cos xdx$

d) Tổ chức thực hiện

3. HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP

Hoạt động 3.1. Rèn luyện kỹ năng tính tích phân bằng định nghĩa,tính chất và tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Mục tiêu:HS biết vận dụng pp phân tích hàm số dưới dấu tích phânđể tính tích phân.

b) Nội dung:

+ GV cho học sinh thực hiện các bài tập 1 theo từng cá nhân và theo từng nhóm các bài tập 2;3

Bài tập 1. ( Bt 1 tr112 SGK ) Tính các tích phân:

a) $I_1=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{\text{d}x}{{\sin }^{2}x}$       b)  $I_2=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(4x^3-3)\text{d}x$

Bài tập 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x+1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0\le x\le 1\\ 2x-1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1\le x\le 3\end{array}\right.$ . Tính tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$  .

Bài tập 3. Tính tích phân:

a)$A=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left|\sin x\right|dx$   b)$B=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|1-x\right|dx$ .

c) Sản phẩm:

Bài giải của học sinh

Bài tập 1.

a)$I_1=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{\text{d}x}{{\sin }^{2}x}$$=-\cot x\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ {}_{\frac{\pi }{4}}\end{array}\right.$ $=-\cot \frac{\pi }{3}+\cot \frac{\pi }{4}$ .       

b) $I_2=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(4x^3-3)\text{d}x$ $={\left.\left(x^4-3x\right)\right|}_{-1}^1$$=6$ .

Bài tập 2.

Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ $=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2}{x+1}\text{d}x+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(2x-1\right)\text{d}x$

${\left.=2\ln \left|x+1\right|\right|}_0^1+{\left.\left(x^2-x\right)\right|}_1^3$$=\ln 4+6$.

Bài tập 3.

a) $A=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left|\sin x\right|dx=\left(\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx-\underset{\pi }{\overset{2\pi }{\int }}\sin xdx\right)=4\sqrt{2}$ ; 

b)$\text{ B}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx={\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2=1$

Hoạt động 3.2. Rèn luyện kỹ năng tính tích phân bằng phương pháp phân tích hàm số dưới dấu tích phân để đưa về dạng cơ bản có trong BNH.

a) Mục tiêu:HS biết vận dụng pp phân tích hàm số dưới dấu tích phânđể tính tích phân.

b) Nội dung:

+ GV cho học sinh thực hiện các bài tập 1 theo từng cá nhân và bài tập 2 theo từng nhóm

Bài tập 1. ( Bt 1 tr112 SGK ) Tính các tích phân:

a)$A=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x(x+1)}dx$     b)$B=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x{(x+1)}^{2}dx$

c)$C=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)dx$  d)$D=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 3x.\cos 5xdx$

Bài tập 2. Tính tích phân:

a)$I=\underset{1}{\overset{\text{e}}{\int }}\frac{1+x}{x^2}\text{d}x$ ;           b)$J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{x^2-9}$ . 

c)$K=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{x+8}{x^2+x-2}\text{d}x$ ;  d)$F=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^3+2x^2+3}{x+2}\text{d}x$

c) Sản phẩm:

Bài giải của học sinh.

Bài tập 1:

a)$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$  ĐS: A = ln2           

b) Khai triển đa thức   ĐS: B = $\frac{34}{3}$

c) C = 0; 

d) Biến đổi tích thành tổng  Đs: D = 0

Bài tập 2.

a)$I=\underset{1}{\overset{\text{e}}{\int }}\frac{1+x}{x^2}\text{d}x$$=\underset{1}{\overset{\text{e}}{\int }}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\right)\text{d}x$$={\left.\left(-\frac{1}{x}+\ln \left|x\right|\right)\right|}_1^{\text{e}}$$=2-\frac{1}{\text{e}}$

b) Ta có: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{x^2-9}$$=I=\frac{1}{6}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right)\text{d}x$ $={\left.\frac{1}{6}\ln \left|\frac{x-3}{x+3}\right|\right|}_0^1$

$=\frac{1}{6}\left(\ln \frac{1}{2}-\ln 1\right)=\frac{1}{6}\ln \frac{1}{2}$.

c)Ta có $K=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{x+8}{x^2+x-2}\text{d}x=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+2}\right)\text{d}x$

$={\left.3\ln \left|x-1\right|\right|}_2^3-2{\left.\ln \left|x+2\right|\right|}_2^3$$=7\ln 2-2\ln 5$.

d)$F=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^3+2x^2+3}{x+2}\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+\frac{3}{x+2}\right)\text{d}x$${\left.=\frac{1}{3}{x}^3+3\ln \left|x+2\right|\right|}_0^1=\frac{1}{3}+3\ln \frac{3}{2}$

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động 3.3. Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp đổi biến .

a) Mục tiêu:HS biết vận dụng pp đổi biến số phù hợp trong mỗi dạng tính tích phân.

b) Nội dung:

   +GV cho học sinh thực hiện các bài tập1 theo từng cá nhân và  bài tập 2 theo từng nhóm

Bài tập 1: ( Bài tập 3 tr 113 SGK).Tính tích phân.

$I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{x^2}{{(1+x)}^{\frac{3}{2}}}dx$$J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx$$K=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x(1+x)}{1+x{e}^x}dx$$F=\underset{0}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$

Bài tập 2. Tính các tích phân sau

a)$A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\text{d}x$ ; b)$B=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{x^2+3}$ ;

c)$C=\underset{0}{\overset{\frac{\text{π}}{3}}{\int }}\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}\text{d}x$  ; d)$D=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left(x^2+3\right)\text{d}x$

c) Sản phẩm:

Bài giải của học sinh

Bài tập 1. a) Đặt t = 1 + x .ĐS: A = $\frac{5}{3}$;                              

b) Đặt x = sint  Đs: B =$\frac{\pi }{4}$

c) Đặt t = 1 + x$e^x$;  Đs: C = ln(1 + e);                 

d) Đặt x = asint; Đs: D =$\frac{\pi }{6}$

Bài tập 2.

a)Đặt $t=\sqrt{2x+1}\Rightarrow t^2=2x+1$$\Rightarrow 2t\text{d}t=2\text{d}x\Rightarrow t\text{d}t=\text{d}x$ .

               Đổi cận:$x=0\Rightarrow t=1$ ,$x=4\Rightarrow t=3$ .

Khi đó: $A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\text{d}x=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{t\text{d}t}{t}=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\text{d}t={\left.t\right|}_1^3=2$ .

b) Đặt $x=\sqrt{3}\tan t$ $\Rightarrow \text{d}x=\sqrt{3}\left(1+{\tan }^{2}t\right)\text{d}t$ .

Đổi cận:$x=0$ $\Rightarrow t=0$ ;$x=1$  $\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$ .

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{x^2+3}$ $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{\sqrt{3}\left(1+{\tan }^{2}t\right)}{3\left(1+{\tan }^{2}t\right)}\text{d}t$ $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{\sqrt{3}}{3}\text{d}t$ .

 c) Đặt $t=\cos x$ $\Rightarrow \text{d}t=-\sin x\text{d}x$.Đổi cận: $x=0$ $\Rightarrow t=1$;$x=\frac{\text{π}}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{2}$ .

Khi đó: $C=\underset{1}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{-1}{t^3}\text{d}t$ $=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{t^3}\text{d}t$ $={\left.\frac{-1}{2t^2}\right|}_{\frac{1}{2}}^1$ $=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$.

d) Đặt $t=x^2+3\Rightarrow \text{d}t=2x\text{d}x$.  Đổi cận : $x=0\Rightarrow t=3$, $x=1\Rightarrow t=4$.

Khi đó: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left(x^2+3\right)\text{d}x=\frac{1}{2}\underset{3}{\overset{4}{\int }}t\text{d}t=\left.\frac{t^2}{4}\right|\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}=\frac{7}{4}$.

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động 3.4. Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tích phân từng phần .

a) Mục tiêu:HS biết vận dụng pp tích phân từng phần phù hợp trong mỗi dạng tính tích phân.

b) Nội dung: + GV cho học sinh thực hiện các bài tập theo từng cá nhân và theo từng nhóm

Bài tập 1.( BT4 tr 113 SGK). Tính các tích phân:

a)$A=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(x+1)\sin xdx$    b)$B=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{x}^2\ln \text{x}dx$

c)$C=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln (1+x)dx$        d)$D=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^2-2\text{x}-1)e^{-x}dx$

Bài tập 2: Tính tích phân:

a)$I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}x{\text{e}}^x\text{\hspace{0.17em}d}x$.        b)$J=\underset{1}{\overset{\text{e}}{\int }}x\ln x\text{d}x.$ ;

c)$K=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\cos x\text{\hspace{0.17em}d}x$ .  d)$L=\underset{0}{\overset{\text{π}}{\int }}x\sin x\text{\hspace{0.17em}d}x$ .

c) Sản phẩm:

Bài giải của HS

Bài tập 1.  a) Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x+1\\ dv=\sin xdx\end{array}\right.$ Ta có: A = 2

b) Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \text{x}\\ dv=x^{2}d\text{x}\end{array}\right.$.       Ta có B = $\frac{1}{9}(2{\text{e}}^3+1)$

c) Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln (x+1)\\ dv=d\text{x}\end{array}\right.$ Ta có:  C = 2ln2 – 1

d) Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x^2-2\text{x}-1\\ dv=e^{-x}d\text{x}\end{array}\right.$. Ta có : D = –1

Bài tập 2. a) Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ \text{\hspace{0.17em}d}v=e^x\text{\hspace{0.17em}d}x\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u=\text{\hspace{0.17em}d}x\\ v=e^x\end{array}\right.$.

Suy ra:  $I={\left.x{e}^x\right|}_1^2-\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^x\text{\hspace{0.17em}d}x$$=2e^2-e-{\left.e^x\right|}_1^2$$=2e^2-e-e^2+e=e^2$

b) Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\Rightarrow \text{d}u=\frac{1}{x}\text{d}x\\ \text{d}v=x\text{d}x\Rightarrow v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right.$.

       Suy ra : $J={\left.\frac{1}{2}{x}^2\ln x\right|}_{\text{1}}^{\text{e}}-\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{\text{e}}{\int }}x\text{d}x$${\left.=\frac{1}{2}{x}^2\ln x\right|}_{\text{1}}^{\text{e}}-\frac{1}{4}{\left.x^2\right|}_{\text{1}}^{\text{e}}$

$=\frac{1}{2}{\text{e}}^2-\frac{1}{4}\left({\text{e}}^2-1\right)$$=\frac{1}{4}{\text{e}}^2+\frac{1}{4}$$=\frac{{\text{e}}^2+1}{4}$

c) Đặt: $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\cos xdx\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=\sin x\end{array}\right.$ .Suy ra:

$K={\left.x\sin x\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin x\text{\hspace{0.17em}d}x$$=\frac{\pi }{2}-1$

d) Đặt $\left\{\begin{array}{c}u=x\\ \text{d}v=\sin x\text{\hspace{0.17em}d}x\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\text{d}u=\text{d}x\\ v=-\cos x\end{array}\right.$ . Suy ra:

$L={\left.-x\cos x\right|}_0^{\text{π}}+\underset{0}{\overset{\text{π}}{\int }}\cos x\text{\hspace{0.17em}d}x$ $=\pi$ .

d) Tổ chức hoạt động.

Hoạt động 3.5. Rèn luyện kỹ năng tính tích phân ở kiểu bài trắc nghiệm .

a) Mục tiêu:  + HS thực hiện bài tập tính tích phân ở dạng trắc nghiệm

b) Nội dung: + GV phát PBT 1vay yêu cầu học sinh thực hiện các bài tập theo từng cá nhân

PHIẾU HỌC TẬP 1

Câu 1:         Tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2+2x-1)dx$ bằng:
A.1                            B.2                           C.3                           D. 4

Câu 2:         Tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \text{x}dx$ bằng:
A. -1                      B. 1                          C. 2                                D. 0

Câu 3:         Tích phân  $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(x+1)}^{2}dx$ bằng:
A.$\frac{8}{3}$                 B. 2                     C.$\frac{7}{3}$                                D. 4

Câu 4:         Tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x+1}dx$ bằng: 
A. $e^2-e$                  B. $e^2$                       C. $e^2-1$                   D. e + 1

Câu 5:         Tích phân  $I=\underset{3}{\overset{4}{\int }}\frac{x+1}{x-2}dx$ bằng:
A. -1 + 3ln2          B.-2 + 3ln2             C. 4ln2                  D.1 + 3ln2 

Câu 6:         Tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x+1}{x^2+2x+5}dx$ bằng: 
A.$\ln \frac{8}{5}$                   B.$\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}$                     C.$2\ln \frac{8}{5}$                D.$-2\ln \frac{8}{5}$

Câu 7:         Tích phân $I=\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}x{e}^{-x}dx$ bằng:
A.$\frac{1}{2}\left(1-\ln 2\right)$         B.$\frac{1}{2}\left(1+\ln 2\right)$           C.$\frac{1}{2}\left(\ln 2-1\right)$         D.$\frac{1}{4}\left(1+\ln 2\right)$

Câu 8:         Tích phân $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\ln x}{x^2}dx$ bằng:
A.$\frac{1}{2}\left(1+\ln 2\right)$            B.$\frac{1}{2}\left(1-\ln 2\right)$         C.$\frac{1}{2}\left(\ln 2-1\right)$           D.$\frac{1}{4}\left(1+\ln 2\right)$

Câu 9:         Biến đổi $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}dx$ thành $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt$, với $t=\sqrt{1+x}$. Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau:
A.$f\left(t\right)=2t^2-2t$         B.$f\left(t\right)=t^2+t$      C.$f\left(t\right)=t^2-t$       D.$f\left(t\right)=2t^2+2t$

Câu 10:      Đổi biến x = 2sint  tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$ trở thành:
A. $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}tdt$               B. $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}dt$                    C. $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{1}{t}dt$                D.$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}dt$

c) Sản phẩm:   Bài giải chi tiết trên giấy của HS

Bảng đáp án :

d) Tổ chức thực hiện

HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG

a) Mục tiêu:+ HS biết áp dụng tích phân vào giải một số bài toán thực tế

b) Nội dung: GV giao phiếu học tập 2 cho học sinh và yêu cầu thực hiện ở nhà

PHIẾU HỌC TẬP 2

Bài 1. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h)  phụ thuộc vào thời gian t(h)  có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left(2;5\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung,

khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

Bài 2: ( Đề thi THPT QG 2018. Mã đề 101)

   Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left(t\right)=\frac{1}{180}{t}^2+\frac{11}{18}t (m/s)$ , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A, nhưng chậm hơn 5 giây so với  và có gia tốc bằng a$\left({\text{m/s}}^2\right)$  ( a là hằng số) . Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

A.22$\left(\text{m/s}\right)$  .        B.$15\left(\text{m/s}\right)$ .             C.$10\left(\text{m/s}\right)$ .             D.$7\left(\text{m/s}\right)$ .

c) Sản phẩm:   Bài giải chi tiết trên giấy của HS

Bài giải bài 1.

 Parabol có đỉnh $I\left(2;5\right)$ và đi qua điểm $\left(0;1\right)$ có phương trình

$y=-x^2+4x+1$.

 Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là:

$S_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(-x^2+4x+1\right)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2+x\right)\left|\begin{array}{l}x=1\\ x=0\end{array}\right.=\frac{8}{3}$

Quãng đường vật đi được trong 2 giờ sau là  $S_2=2.4=8$.

Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là 

$S=S_1+S_2=\frac{8}{3}+8=\frac{32}{3}$(km)

Bài giải bài 2.

+) Từ đề bài, ta suy ra: Tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 10 giây.

  +) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng $v_B\left(t\right)=\int a\text{d}t=at+C$, lại có $v_B\left(0\right)=0$ nên $v_B\left(t\right)=at$.

  +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau.

  Do đó: $\underset{0}{\overset{15}{\int }}\left(\frac{1}{180}{t}^2+\frac{11}{18}t\right)\text{d}t=\underset{0}{\overset{10}{\int }}at\text{d}t$ $\iff 75=50a$ $\iff a=\frac{3}{2}$ .

    Từ đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng 15(m/s).

d) Tổ chức thực hiện

Ngày   ......   tháng   .......    năm 2021

                                                                       BCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Giáo án Nguyên hàm

Giáo án Ứng dụng của tích phân trong hình học

Giáo án Ôn tập chương 3

Giáo án Số phức

Giáo án Cộng, trừ và nhân số phức